Связь циклоиды с другими геометрическими линиями.

Опубликовано в Геометрия

Мы уже знаем определение и некоторые виды циклоиды, сегодня узнаем связь этой замечательной геометрической фигуры с другими линиями.

Эволюта и эвольвента обыкновенной циклоиды. Эволюта обыкновенной циклоиды (геометрическое место центров кривизны) есть циклоида, конгруэнтная данной, но смещенная вдоль направляющей на половину основания АВ и опущенная под основание на расстояние, равное высоте циклоиды. Другими словами, эвольвента циклоиды C₄BD, исходящая из вершины В этой кривой, есть циклоида M₂BN, конгруэнтная данной, но смещенная вдоль направляющей на половину основания C₄D и поднятая над основанием на расстояние, равное высоте данной линии.

Геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из точки М циклоиды на диаметр производящего круга, проходящий через точку опоры, есть синусоида с длиной волны 2πr и амплитудой d. Ось этой синусоиды совпадает с линией центров циклоиды.

Циклоида как проекция винтовой линии.
Обозначения: h — шаг винтовой линии; а — ее радиус; α — угол подъема; β — угол между осью винтовой линии и плоскостью проекций; σ — угол наклона проецирующих лучей к плоскости проекций.

Косоугольная проекция винтовой линии на плоскость, перпендикулярную оси, есть циклоида. Если σ > α, то эта циклоида удлиненная; если σ < α, то укороченная; если σ = α, то обыкновенная. Прямоугольная проекция винтовой линии на ту же плоскость есть, очевидно, окружность.

Прямоугольная проекция винтовой линии на плоскость, не перпендикулярную оси, но и не параллельную последней, есть «сжатая циклоида», т. е. линия, получаемая из циклоиды с помощью равномерного сжатия к какой-либо прямой, перпендикулярной линии центров циклоиды.

Коэффициент сжатия k = sin β ; величины r и d, характеризующие циклоиду (до ее сжатия), выражаются так:

r= h/(2 π) ctg β (= α tg α ctg β); d = a.

Отсюда видно, что при β > α проекция винтовой линии родственна с удлиненной циклоидой; при β < α — с укороченной; при β = α — с обыкновенной.

Ортогональная проекция винтовой линии на плоскость, параллельную оси, есть синусоида, у которой амплитуда есть радиус a винтовой линии, а длина волны есть проекция h cos β шага h.