Связь циклоиды с другими геометрическими линиями.
Мы уже знаем определение и некоторые виды циклоиды, сегодня узнаем связь этой замечательной геометрической фигуры с другими линиями.
Эволюта и эвольвента обыкновенной циклоиды. Эволюта обыкновенной циклоиды (геометрическое место центров кривизны) есть циклоида, конгруэнтная данной, но смещенная вдоль направляющей на половину основания АВ и опущенная под основание на расстояние, равное высоте циклоиды. Другими словами, эвольвента циклоиды C4BD, исходящая из вершины В этой кривой, есть циклоида M2BN, конгруэнтная данной, но смещенная вдоль направляющей на половину основания C4D и поднятая над основанием на расстояние, равное высоте данной линии.
Геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из точки М циклоиды на диаметр производящего круга, проходящий через точку опоры, есть синусоида с длиной волны 2πr и амплитудой d. Ось этой синусоиды совпадает с линией центров циклоиды.
Циклоида как проекция винтовой линии.
Обозначения: h — шаг винтовой линии; а — ее радиус; α — угол подъема; β — угол между осью винтовой линии и плоскостью проекций; σ — угол наклона проецирующих лучей к плоскости проекций.
Косоугольная проекция винтовой линии на плоскость, перпендикулярную оси, есть циклоида. Если σ > α, то эта циклоида удлиненная; если σ < α, то укороченная; если σ = α, то обыкновенная. Прямоугольная проекция винтовой линии на ту же плоскость есть, очевидно, окружность.
Прямоугольная проекция винтовой линии на плоскость, не перпендикулярную оси, но и не параллельную последней, есть «сжатая циклоида», т. е. линия, получаемая из циклоиды с помощью равномерного сжатия к какой-либо прямой, перпендикулярной линии центров циклоиды.
Коэффициент сжатия k = sin β ; величины r и d, характеризующие циклоиду (до ее сжатия), выражаются так:
Отсюда видно, что при β > α проекция винтовой линии родственна с удлиненной циклоидой; при β < α — с укороченной; при β = α — с обыкновенной.
Ортогональная проекция винтовой линии на плоскость, параллельную оси, есть синусоида, у которой амплитуда есть радиус a винтовой линии, а длина волны есть проекция h cos β шага h.
- Основные проблемы и пути их решения при обучении геометрии в школе
- Сферические треугольники
- Координатная геометрия
- Декартовы уравнения