Что такое изопериметрические задачи?

Опубликовано в Геометрия

Изопериметрическая задача в узком смысле слова заключается в том, что среди данной совокупности фигур, имеющих одинаковую длину контура — одинаковый периметр (такие фигуры и называются изопериметрическими фигурами или тзопериметрами), — требуется найти ту, площадь которой больше площадей всех прочих фигур рассматриваемой совокупности (но не всех вообще фигур с таким же периметром). Если данная совокупность состоит из всех решительно треугольников с данным периметром, то наибольшая площадь принадлежит равностороннему треугольнику, как будет доказано в свое время. Среди всех равнообводных прямоугольников наибольшей площадью обладает квадрат. А среди всех вообще плоских фигур с одинаковым периметром максимальной площадью обладает круг того же периметра.

В более широком смысле «изопериметрическими» называют также задачи о нахождении среди данной совокупности тел, ограниченных поверхностями данной величины, того тела, которое заключает наибольший объем (такие тела с одинаковыми по величине поверхностями называют «изоэпифанными»); задачи о наибольших сферических (начерченных на поверхности шара) фигурах с данным по длине контуром, задачи о наибольших плоских фигурах, часть контура которых задана по форме, а не по длине (например, в виде прямолинейного отрезка любой длины), и, наконец, задачи в известном смысле обратные (взаимные) по отношению к названным выше задачам: в них все сравниваемые фигуры имеют одинаковую площадь и требуется найти среди них ту, у которой периметр имеет наименьший размер. В таком же смысле слова обратной является задача — среди данной совокупности тел, имеющих одинаковый объем, найти то, у которого величина поверхности — наименьшая.

Огромное значение изопериметрических проблем для техники очевидно. Так, круглая форма поперечного сечения труб обусловливает максимальную пропускную их способность (при данной толщине стенок и данной затрате материала на их изготовление), а также — максимальную прочность и легкость изготовления.