Докажем закономерности в игре дзянынидзы!
Итак, судя с данных таблицы, полученных в предыдущей статье, будем иметь последовательность пар чисел: (0, 0), (1, 2), (3, 5), (4, 7), (6, 10), (8, 13), (9, 15), (11, 18), (12, 20), (14, 23), (16, 26), … Закономерность никак не просматривается, и никаких идей не приходит в голову.
Оказывается, что распределение чисел в парах связано с загадочными числами Фибоначчи, о которых я уже рассказывал. Это числа 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…, каждое из которых равно сумме двух предыдущих.
Мы знаем о десятичной и двоичной системах счисления и можем представить систему счисления с любым другим основанием, а теперь давайте познакомимся с фибоначчиевой системой счисления. Всякое натуральное число π можно представить в виде суммы чисел Фибоначчи. Сначала возьмем наибольшее число Фибоначчи, не превосходящее π, и вычтем его из π. Потом возьмем наибольшее число Фибоначчи, не превосходящее этой разности, и вычтем его из этой разности, повторим такую процедуру с новой разностью и т. д. Например, 17 = 13 + 3 + 1.
Теперь запишем представление числа в системе счисления Фибоначчи. Для числа 17 это будет выглядеть следующим образом. Смотрим, есть ли среди слагаемых число 1? Да. Ставим последней на последнем месте цифру 1. Смотрим, есть ли среди слагаемых число 2? Нет. В этом случае ставим второй цифрой 0. Дальше проверяем наличие в сумме чисел 3, 5, 8, 13 и ставим на очередное место либо 0, либо 1, в зависимости от того, есть такое число в сумме или нет. Для числа 17 получаем запись 100101. Обратим внимание на то, что в фибоначчиевой записи числа не может быть двух единиц подряд.
Теперь запишем найденные пары чисел в фибоначчиевой системе счисления. Получим:
(3, 5) => (100, 1000)
(4, 7) => (101, 1010)
(6, 10) => (1001, 10010)
(8, 13) => (10000, 100000)
(9, 15) => (10001, 100010)
(11, 18) => (10100, 101000)
(12, 20) => (10101, 101010)
(14, 23) => (100001, 1000010)
(16, 26) => (100100, 1001000)
Теперь закон уже виден: числа, стоящие первыми, имеют в фибоначчиевой системе счисления на конце четное число нулей, а второе число получается из первого приписыванием одного нуля.
Если вам что-то не понятно из данных вычислений, то спрашивайте в комментариях или заходите на математический форум, где всегда рады вам помочь.
- Системы счисления
- Нас окружают числа Фибоначчи...
- Теперь мы можем считать и комплексные числа!
- Индийская система счета
(2 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Загрузка...