Как выиграть в дзянынидзы?

Эта игра пришла к нам из Китая. Для нее не нужно доски, фигур или других приспособлений. Достаточно набрать немного камешков и разложить их в две кучки. Теперь двое играющих по очереди берут камешки из этих кучек. Разрешается взять за один ход любое количество камешков из одной кучки или из двух кучек, но поровну. Выигрывает тот, кто своим ходом забирает все оставшиеся камни.

Несмотря на простоту условий этой игры, указать, кто выигрывает при конкретном наборе камешков, и найти выигрывающую стратегию в этой игре довольно сложно. Но попытаемся это сделать. Если в одной из кучек вообще нет камней, то, очевидно, выигрывает начинающий — он забирает всю вторую кучу камней. То же самое происходит, если в кучах одинаковое количество камней.

Результаты анализа ситуаций в игре мы будем заносить в таблицу. Набору камешков, скажем, 6 в первой кучке и 8 во второй в таблице соответствует клетка, стоящая на пересечении строки с цифрой 6 и столбца с цифрой 8. Если при некотором наборе камешков выигрывает тот, кто должен ходить, то мы ставим в этой клетке плюс, а если его партнер, то — минус.

Каждую клетку будем обозначать соответствующей парой чисел. Например, упомянутую клетку будем обозначать (8, 6). В клетке (0, 0), очевидно, следует поставить минус, а в клетках (k, 0), (0, k) и (k, k) для всех k, больших нуля, следует поставить плюс. Таблица начала заполняться.
дзянынидзы таблица
Рассмотрим клетки (1, 2) и (2, 1). Любой ход из этих наборов ведет в клетку, уже помеченную знаком плюс, поэтому в этих клетках следует поставить минус, а знаком плюс нужно пометить все клетки, из которых за один ход можно попасть в клетку (1, 2) или (2, 1).
дзянынидзы
Теперь выясняется, что любой ход из клеток (3, 5) и (5, 3) ведет в клетку, уже помеченную знаком плюс, а это значит, что и эти две клетки следует пометить знаками минус, а те клетки, из которых за один ход можно попасть в них, следует пометить знаком плюс.
табица плюсов и минусов
Глядя на полученный рисунок, отмечаем, что знаком минус следует пометить клетки (4, 7) и (7, 4). Продолжая этот процесс, получаем, что минусом следует пометить клетки (6, 10) и (10, 6). Дальше получаем минусовые клетки (8, 13) и (13, 8), потом (9, 15) и (15, 9), (11, 18) и (18, 11). Можно продолжать этот процесс дальше и дальше, но попробуем понять, какому закону подчиняются эти пары чисел.

Будем рассматривать только те пары чисел, у которых первое число меньше второго, потому что остальные получаются изменением порядка чисел в паре. Нетрудно заметить, что разность между вторым и первым числом в паре на каждом шаге увеличивалась на единицу. Кроме того, первое число пары всегда является наименьшим целым числом, не попавшим еще ни в одну из пар.

Этих данных достаточно, чтобы теперь можно было выписывать пары, не заполняя таблицы. Конечно же, высказанные утверждения нужно строго доказать, что математиками уже было сделано, но попробуйте это сделать и сами или читайте следующую статью.

Материалы по теме:
Поделиться с друзьями:
Оцените материал:
1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (Проголосуйте первым!)
Загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *