Вклад Штейнера в изучении свойств геометрических фигур.
Якоб Штейнер (Jacob Steiner, 1796—1863) несколько раз читал в Берлинском университете курс, посвященный «максимальным и минимальным свойствам фигур в плоскости, на сфере и в пространстве», а в 1841 году (год спустя после смерти Люилье, прожившего 90 лет) представил Парижской Академии два мемуара под тем же заглавием (на немецком языке).
Не поддерживая непримиримой позиции Люилье, Штейнер считает, как видно из заключительных слов приведенной цитаты, что в столь трудных вопросах вообще необходимо сотрудничество обоих методов. Но при этом синтетический метод представляется ему наиболее пригодным для установления таких основных положений, которые вскрывали бы «истинную природу и действительную причину» максимальных и минимальных свойств и из которых легко вытекала бы система дальнейших предложений. Поэтому в названных мемуарах он пользуется исключительно синтетическими методами, предоставляя анализу способствовать дальнейшему развитию заложенных таким образом основ.
В результате своих длительных исследований вопроса о максимумах и минимумах в геометрии, Штейнер убедился в невозможности установить единый принцип, одинаково применимый ко всем вопросам в этой области. «Никакая другая ветвь геометрии,— говорит ученый,— не сопряжена, по-видимому, со столькими трудностями, как эта: когда кажется, что нашел уже прямой и общий метод, неожиданно наталкиваешься наряду с очень простыми проблемами на такие, решить которые этот метод почти или даже совершенно бессилен; и успех до такой степени зависит здесь от выбора точки зрения, что часто трудности, кажущиеся непреодолимыми при пользовании одними средствами, исчезают, лишь только подойдешь к ним с другими приемами, даже тривиальными в известном отношении».
В упомянутых двух мемуарах Штейнер излагает те пять методов, к которым он пришел в результате своих исследований. Хотя эти пять методов отличаются лишь ходом рассуждений, приводящих к одной и той же «главной» теореме (так геометр называет теорему о круге как о фигуре, наибольшей по площади из всех плоских фигур одинакового периметра), которая служит основой для всех дальнейших выводов,— изложение в мемуарах математика всех, пяти методов объясняется не тщеславным его желанием похвастаться своей изобретательностью, а глубокими внутренними причинами. Дело в том, что невозможно, говорит он, обойтись без общего сотрудничества этих методов: каждый из них легко приводит к таким теоремам, доказательство которых лишь с чрезвычайным трудом удалось бы найти, если пользоваться остальными четырьмя методами.
Первый из этих пяти методов, пригодный и для случая сферических фигур, сам Штейнер считает наиболее универсальным и изящным, и его изложению и применениям он посвящает весь первый мемуар. Во втором мемуаре Штейнер развивает остальные четыре метода (из них только второй применим и к сферическим фигурам), затем устанавливает ряд изопериметрических свойств призматических и пирамидальных тел и, наконец, доказывает, пользуясь двумя различными методами, что среди всех тел с равновеликими поверхностями шар имеет наибольший объем.
- Геометр с синтетическим мышлением.
- Координатная геометрия
- Начало учения об изопериметрах...
- Cистемы линейных уравнений
(1 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Загрузка...