Использование дистрибутивности скалярного произведения векторов в доказывании теорем!
Часто учителя, используя скалярное произведение векторов, чуть ли не моментально доказывают теорему Пифагора и теорему косинусов. Это, конечно, заманчиво. Однако требуется комментарий.
В традиционном изложении дистрибутивность скалярного произведения векторов доказывается позже теоремы Пифагора, ибо последняя применяется в этом доказательстве, хотя бы и косвенно. При этом возможны варианты этого доказательства.
В школьных учебниках геометрии, как и во многих других, скалярное произведение ненулевых векторов определяется как произведение длин векторов на косинус угла между ними. Затем выводится координатная форма скалярного произведения как сумма произведений одноименных координат данных векторов, после чего дистрибутивность получается моментально в результате простой алгебраической выкладки. Такой вывод проходит и на плоскости, и в пространстве.
В учебнике Погорелова А.В. Геометрия 6-10 скалярное произведение векторов определяется сразу через их координаты, и кажется, что можно обойтись без теоремы Пифагора. Но, увы — при таком подходе необходимо доказывать независимость скалярного произведения от выбора системы координат, а для этого все равно нужна теорема Пифагора.
Итак, преподавая по нынешним школьным учебникам геометрии, использовать данную рекомендацию таких учителей — получается так называемый «логический круг».
Их рекомендация проходит тогда и только тогда, когда при доказательстве дистрибутивности скалярного произведения векторов теорема Пифагора не предполагается известной. Такие варианты возможны, для этого надо выучить язык геометрии и знать другие методы ввода теорем, которые используются в менее используемых учебниках. Например, в книге «Преобразование. Векторы..» Болтянского и Ягломы скалярное произведение двух ненулевых векторов определяется как произведение длины одного данного вектора на проекцию на него другого данного вектора. После этого свойство дистрибутивности получается из свойств проекций вектора. Небольшую модификацию этой идеи можно найти в другой книге Болтянского «Элементарная геометрия» — сначала дается традиционное определение скалярного произведения векторов, а затем совершается переход к определению, принятому в первой, и доказывается дистрибутивность, как в первой книге.
Еще один вариант приведен в учебнике Геометрия 6-8 класс Болтянский, Волович, Семушин — скалярное произведение векторов вводится аксиоматически, а среди аксиом присутствует его дистрибутивность.
Разумеется, выигрывая в чем-то одном, мы проигрываем в другом — работает закон «сохранения трудности». Например, в уже вспомянутой книге Элементарная геометрия теорема Пифагора появляется только в самом конце, а в учебнике Геометрии того же Болтянского и других путь от аксиоматического введения скалярного произведения до стандартной его формулы достаточно длинен и непрост.
Для полноты картины скажу, что еще один способ доказательства дистрибутивности скалярного произведения векторов (для пространства оно сложнее, чем для плоскости) приведен в учебниках Геометрия 9 класс 1969 год Клопский, Скопец, Ягодовский и Геометрия 10 класс 2003 год Потоскуев, Звавич. Но и там он предполагает наличие теоремы Пифагора.
- Находим скалярное произведение и угол между векторами…
- Использование векторной техники для решения геометрических задач!
- Что такое векторное произведение векторов и как его найти?
- Cкалярное произведение и косинус угла между векторами
(Проголосуйте первым!)
Загрузка...