Пятиконечная звезда пентаграмма
В последние десятилетия в поле зрения математиков попала комбинаторная арифметика. Вместе с этим возник интерес к комбинаторным проблемам, которые некогда считали просто головоломками.
Герберт Дж. Райзер в своей небольшой, но превосходной книжке Combinatorial Mathematics («Комбинаторная математика»), изданной в 1963 году Американской математической ассоциацией, демонстрирует магический квадрат 3×3, который был известен в Китае за несколько веков до нашей эры. «Многие из математических проблем, изучавшихся в прошлом ради развлечения или эстетики, в наши дни обретают значимость не только в области чистой математики, но и прикладной, — пишет Райзер. — Еще недавно понятие конечной проективной плоскости рассматривалось не более чем курьез комбинаторики. А в наши дни оно является одним из основ геометрии и применяется при анализе и планировании экспериментов. Новые технологии, куда прочно вошла дискретная математика, подняли занимательную математику прошлого на новый уровень и поставили перед ней новые цели».
Магические квадраты изучены уже довольно глубоко. В этой статье мы рассмотрим родственные им, но менее известные магические звезды. Этот раздел занимательной комбинаторики неожиданным образом связан с теорией графов и скелетной структурой многоугольников.
Самая простая звезда — это всем знакомая пятиконечная. Именно эту звезду (ее называют Рождественской и помещают на макушке елки) мы детьми учились рисовать одним непрерывным движением карандаша. Этот символ часто встречался на древнегреческих монетах. В Средние века и в эпоху Возрождения эта звезда называлась pentagram (пентаграмма) или pentalpha. Второе название «pentalpha» связано с тем, что звезда может быть получена наложением пяти заглавных букв «А».
Нарисуйте кружок в каждом пересечении линий пентаграммы (см. рисунок). Можно ли разместить в этих кругах числа с 1 до 10 таким образом, чтобы по каждой линии сумма была одинаковой? Легко определить, какой должна быть эта сумма. Ведь сумма цифр от 1 до 10 равна 55. Каждое число появляется на двух линиях и, следовательно, сумма всех пяти линий дает удвоенное значение, а именно 110. Поскольку сумма по каждой из пяти линий должна быть одинакова, каждая линия должна давать сумму 110/5 или 22. Если магическая пентаграмма и существует, то сумма чисел по линиям (магическая константа) должна равняться 22.
Если приложить немного изобретательности, то можно показать, что такую магическую пентаграмму действительно нельзя построить. Смотри книгу Гарри Лангмана Play Mathematics («Играем в математику»). Лучшее, что можно придумать (чтобы избежать дублирования чисел или использования нулей и отрицательных величин), — это пронумеровать вершины числами 1, 2, 3,4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, как показано на втором рисунке. Это исправляет дефектную пентаграмму. В данном случае достигается наименьшая магическая константа — 24 и наименьшая предельная цифра — 12.
- Магические звезды
- Магические многогранники
- Геодезические линии
- Основные проблемы и пути их решения при обучении геометрии в школе
(1 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Загрузка...