Десятичные дроби

Произвести различные действия с обычными дробями вы можете, воспользовавшись онлайн-программой «Сложение, вычитание, умножение и деление дробей с различными знаменателями«, а сейчас мы рассмотрим десятичные дроби.

Надо сказать, что с дробями не всегда удобно работать. Как бы ни записали дробь, 1 1/2, или $1\frac12$ она нарушает стройность и логичность позиционной записи чисел.Десятичные дроби

Скажем, число $3143\frac34$ можно расписать при помощи позиционных величин. Это три тысячи плюс одна сотня плюс четыре десятка плюс три единицы и плюс три четвертых. Пока мы не добрались до этой зло­получной дроби, все было логично. При переходе слева направо каждая следующая позиция равна одной десятой предыдущей.

Другими словами, $1000 \times \frac{1}{10}=100$; $100 \times \frac{1}{10}=10$; $10 \times \frac{1}{10}=1$.

Все прекрасно, но почему нужно оста­навливаться на единице? Почему бы не продолжить этот ряд дальше направо, в область, меньшую единицы?

Он будет выглядеть вот так: $1 \times \frac{1}{10}=\frac{1}{10}$; $\frac{1}{10} \times \frac{1}{10}=\frac{1}{100}$; $\frac{1}{100} \times \frac{1}{10}=\frac{1}{1000}$ и так далее. Таким образом, если продлим позиционный ряд в область чисел, меньших единицы, мы получим десятые, сотые, тысячные и так далее.

Теперь рассмотрим дробь $\frac12$. Если мы умножим числитель и знаменатель на одно и то же число, в данном случае на 5, величина дроби при этом не изменится. В результате получим $\frac12=\frac{5}{10}$. Это означает, что число, подобное $55\frac12$, можно представить в виде $55\frac{5}{10}$, или 55,5, или пятьдесят пять целых и пять десятых. Мы опять получили позиционное число, но теперь у нас есть дробная часть, отделенная от целой части запятой. Число 55,5 позиционное, и его можно прочесть как пять десятков плюс пять единиц плюс пять десятых.

Рассмотрим еще одну дробь, $\frac34$. Если мы умножим числитель и знаменатель на одно и то же число, в данном случае уже на 25, и при этом величина дроби не изменится. В результате получим $\frac34=\frac{75}{100}$, или $\frac{70}{100}+\frac{5}{100}$, или $\frac{7}{10}+\frac{5}{100}$. Это означает, что число, подобное $55\frac34$, можно представить в виде $55\frac{75}{100}$; или 55,75, или пятьдесят пять целых и семьдесят пять сотых. Мы опять получили позиционное число, и теперь у нас есть дробная часть, отделенная от целой части запятой. Число 55,75 позиционное, и его можно про­честь как пять десятков плюс пять единиц плюс семь десятых плюс пять сотых.

Дроби, представленные в виде определенного количества десятых, или сотых, или тысячных и так далее, то есть в виде позиционного числа, называются десятичными. Запятая, отделяющая целую часть от дробной, называется десятичной запятой.

Десятичную дробь, меньшую единицы, например $\frac7{10}$, можно было бы записать как » ,7″. Но существует реальная возможность того, что в процессе вычислений знак запятой потеряется и дробь превратится в целое число. Поэтому выбрали такую форму записи, когда отсутствующая целая часть заменяется нулем, и наша дробь приобретает вид 0,7 (то есть ноль единиц плюс семь десятых, но можно сказать просто семь десятых). Кроме того $\frac{7}{10}$, можно записать как 0,70, или 0,700, или 0,7000, или 0,700000000000. Добавление сотого, тысячного, десятитысячного и так далее знаков после последнего значащего числа в десятичной дроби не изменяет ее величины.

Основное преимущество десятичных дробей заключается в том, что сложение и вычитание можно производить, не думая о дробной части, и оперировать с дробным числом как с целым. Можно воспользоваться и счетами. Для этого ряд единиц надо расположить посередине счетов, вверх идут ряды десятков, сотен, тысяч и так далее, а вниз десятые, сотые, тысячные и так далее. На таких счетах можно складывать и вычитать и сотни, и сотые, и тысячи, и тысячные и так далее.

Те же правила справедливы при подсчетах на бумаге. Предположим, надо сложить $1\frac12+1\frac34$, сохраняя выражение в обычных дробях. Сначала надо привести дроби к виду $\frac32+\frac74$, затем приводим их к общему знаменателю $\frac64+\frac74$, что равно $\frac{13}4$, или $3\frac14$.
А теперь проведем сложение десятичных дробей. $1\frac12=1,5$, $1\frac34=1,75$
Проведем сложение в столбик:

сложение в столбик

Обратите внимание, мы записали число 1,5 в виде 1,50 потому, что у второго числа есть значащая цифра в разряде сотых. Если мы этого не сделаем, то возникает опасность ошибки из за неправильной записи:сложение дробей

В десятичных дробях мы получили ответ 3,25, или 3 плюс $\frac2{10}$ плюс $\frac5{100}$. Если теперь провести сложение, мы получим $3\frac1{4}$, то есть тот ответ, который мы признали правильным.

На практике нет никакой необходимости перескакивать от десятичных дробей к обычным. Освоив однажды действия с десятичными дробями, вы сможете с их помощью проводить все расчеты быстро и относительно легко.

Материалы по теме:
Поделиться с друзьями:
Оцените материал:
1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (1 голосов, рейтинг: 1,00 с 5)
Загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *