Понятие дроби
То, что обычный человек сделал с обычными единицами измерения, смогут сделать математики со своими абстрактными числами. Почему бы не разделить единицу на две равные части, на три, на четыре и так далее? Для того чтобы такое деление не было бесполезным, надо присвоить этим частям единицы собственные названия. Затем надо найти удобный символ для этих частей единицы. И наконец, надо разработать систему, которая позволит оперировать с этими частями и производить обычные арифметические операции.
Далее, если с долями чисел можно манипулировать так же, как с обычными числами, это означает, что части чисел можно рассматривать как обычные числа как в практической, так и в теоретической сфере применения.
Названия для частей чисел пришли из обыденной речи. Две равные части называют половинами. Части, которые получаются при делении числа на какое-то количество долей, называются в соответствии с количеством этих долей, то есть третьи, четвертые, пятые и так далее.
Половина — это то, что получается при делении единицы на 2 части. Другими словами, это 1:2. При таком делении мы не получим обычного целого числа, и бессмысленно его искать. Нужно просто выбрать обозначение для данной арифметической операции. Таким обозначением стало $\frac12$. Его можно прочесть как одна вторая, или половина. Если мы делим 1 на 3, то получаем соответственно одну третью часть, или одну треть. Если делим на 5, то получаем одну пятую, и так далее. Мы не пытаемся решить эти примеры, $\frac12, \frac13, \frac15$ — это просто обозначения.
Когда мы пишнм, что $1:3=\frac13$, мы просто утверждаем, что «единица, деленная на 3, равна единице, деленной на 3».
Это звучит обескураживающие. Кто-то может задать вопрос: а что же такое эта загадочная единица, которую мы делим на 3? Ответ может вас удивить: а какая разница, что это такое. Если это дает нас возможность манипулировать с величиной $\frac13$ как с обычным, всеми привычным, числом, то этого вполне достаточно.
Обозначения, приведенные выше, были введены в математику как понятие дроби (от слова «дробить»). В отличие от дробей те числа, с которыми мы имели дело раньше, называются целыми.
Также можно осуществлять разные действия над дробями, как и над целыми числами: складывать, вычитать, умножать, делить. Кроме того, дроби бывают правильными и неправильными, и из неправильной дроби можно выделить целую часть, но об этом читайте немного позже, в одной из следующих статей.
- Труды Кантора в теории бесконечностей
- Трансфинитные числа
- Плотная бесконечность и дискретная бесконечность
- Фундаментальная теорема