Двоичная система счисления

Для каждой счетной системы можно составить таблицы сложения и других арифметических действий. В двенадцатеричной системе 5+8=11, а Зх4=10. В семеричной системе 3+6=12, а 5х3=21. Нам это может показаться странным, поскольку мы не используем подобные системы. Но если мы проводим все расчеты в рамках одной из таких систем, мы видим, что система также отвечает поставленным целям. Человечество остановилось на десятеричной системе по той простой причине, что на руках у человека десять пальцев, а вовсе не потому, что эта система более логична, чем любая другая.

Однако в отдельных случаях и для конкретных целей может оказаться, что какая-то система счета является гораздо более функциональной, нежели другие. Это справедливо в случае системы, основанной на 2, то есть двоичной системы.

Выражение 10 в двоичной системе равно 2 в десятеричной системе. Следовательно, в такой системе только две цифры, 0 и 1.

Перевод числа из двоичной системы в десятеричную не составляет труда. Рассмотрим, например, выражение 11001 в двоичной системе. Оно эквивалентно $(1\times2^4)+(1\times2^3)+(0\times2^2)+(0\times2^1)+(1\times2^0)$, или 16+8+0+0+1, или 25, что соответствует эквиваленту, приведенному в таблице.

Этот процесс можно упростить, если принять во внимание, что число 2, возведенное в степень, умножается либо на 0, и тогда результат тоже будет равен нулю и его можно не учитывать, либо на 1, и тогда это просто 2, возведенное в какую-то степень.

Таким образом, мы можем проставить порядковый номер справа налево, как это показано ниже:

Каждое маленькое число — это степень числа 2, определяемая положением цифры в числе, представленном в двоичной системе. Следует учитывать только те показатели степени, которые стоят против единиц. Показатели, стоящие против нулей, можно опускать. Используя такой подход, можно записать число 11001 как $2^4+2^3+2^0$, или 16+8+1, или 25.

Большие числа, такие как 1 110 010 100 001 001, можно переводить в десятеричную систему таким же образом.

Поскольку единицам соответствуют позиции 0, 3, 8, 10, 13, 14 и 15, то число будет равняться $2^{15}+2^{14}+2^{13}+2^{10}+2^8+2^3+2^0$, или $32 768+16 384+8 192+1 024+256+8+1$, или $58 633$.

Обратный перевод из двоичной системы в десятеричную не очень сложен, но более длителен. Предположим, число 1562 выражено в десятеричной системе. В двоичную систему его можно перевести следующим образом:

Наибольшее число, соответствующее двойке, возведенной в степень, и меньшее 1562, — это $2^{10}$ (или 1024). Если мы вычтем 1024 из 1562, у нас останется 538. Теперь наибольшее число, соответствующее двойке, возведенной в степень, и меньшее 538, — это $2^9$ (или 512). После вычитания этой величины из 538 у нас остается 26. Ближайшее и меньшее число теперь — $2^4$ (или 16). После вычитания остается 10. Теперь ближайшее число — это $2^3$ (или 8). После вычитания остается 2 или $2^0$. Таким образом, $1562=2^{10}+2^9+2^4+2^3+2^1$.

Теперь надо только правильно расставить по местам показатели степени справа налево. Единицы будут стоять на 1, 3, 4, 9 и 10-й позициях. На остальных позициях мы поставим нули. Таким образом, мы получаем число 11 000 011 010, двоичный эквивалент числа 1562 в десятеричной системе.

В двоичной системе очень простые таблицы сложения и умножения:

И это весь список.

Таким образом, в двоичной системе:

Правильность этих вычислений можно, при желании, проверить, учитывая, что числа 11, 110 и 1001 в двоичной системе равны соответственно 3, 6 и 9 в десятеричной системе.

Теперь представьте себе, что у вас есть счетная электронная машина с набором переключателей (например, полупроводниковых). Каждый переключатель может находиться в одной из двух позиций — «включено» (когда ток проходит через переключатель) или «выключено» (когда ток не проходит через переключатель).

Теперь предположим, что положение «включено» соответствует 1, а положение «выключено» соответствует 0. В этом случае счетную машину можно спроектировать таким образом, чтобы переключение электрического сигнала различными переключателями подчинялось правилам сложения, умножения и другим действиям с единицами и нулями в двоичной системе.

Такая машина будет так быстро производить переключение и производить вычисления с такой скоростью, что сможет выполнить за считанные секунды такой объем вычислений, на который человеку потребовалось бы не меньше месяца.

• Системы счисления
• Арифметические действия над логарифмами
• Докажем закономерности в игре дзянынидзы!
• Отрицательная и нулевая степень числа

Поделиться с друзьями:

Оцените материал:

(11 голосов, рейтинг: 4,36 с 5)

Загрузка...

Tags:история чисел