Периодические и непериодические дроби

Опубликовано в Алгебра

Тот факт, что многие квадратные корни являются иррациональными числами, нисколько не умаляет их значения, в частности, число $\sqrt2$ очень часто используется в различных инженерных и научных расчетах. Это число можно вычислить с той точностью, которая необходима в каждом конкретном случае. Вы можете получить это число с таким количеством знаков после запятой, на которое у вас хватит терпения. Периодические и непериодические дроби

Например, число $\sqrt2$ можно определить с точностью до шести десятичных знаков: $\sqrt2=1,414214$. Эта величина не очень сильно отличается от истинного значения, поскольку $1,414214 \times 1,414214=2,000001237796$. Этот ответ отличается от 2 на величину, едва превышающую одну миллионную. Поэтому значение $\sqrt2$, равное $1,414214$, считается вполне приемлемым для решения большинства практических задач. В том случае, когда требуется большая точность, нетрудно получить столько значащих цифр после запятой, сколько необходимо в данном случае.

Однако если вы проявите редкостное упрямство и попробуете извлекать квадратный корень из числа $\sqrt2$ до тех пор, пока не добьетесь точного результата, вы никогда не закончите своей работы. Это бесконечный процесс. Сколько бы десятичных знаков после запятой вы ни получили, всегда останется еще несколько.

Этот факт может поразить вас так же сильно, как и превращение $\frac13$ в бесконечную десятичную дробь $0,333333333…$ и так бесконечно или превращение $\frac17$ в $0,142857142857142857…$ и так далее бесконечно. На первый взгляд может показаться, что эти бесконечные десятичные дроби и иррациональные квадратные корни — это явления одного порядка, но это совсем не так. Ведь у этих бесконечных дробей есть дробный эквивалент, в то время как у $\sqrt2$ такого эквивалента нет. А почему, собственно? Дело в том, что десятичным эквивалентом $\frac13$ и $\frac17$, а также бесконечного числа других дробей являются периодические бесконечные дроби.

В то же время десятичный эквивалент $\sqrt2$ является непериодической дробью. Это утверждение справедливо также для любого иррационального числа.

Проблема заключается в том, что любая десятичная дробь, которая является приближенным значением корня квадратного из 2, представляет собой непериодическую дробь. Как далеко мы ни продвинемся в расчетах, любая дробь, которую мы получим, будет непериодической.

Представьте себе дробь с огромным количеством непериодических цифр после запятой. Если вдруг после миллионной цифры вся последовательность десятичных знаков повторится, значит, десятичная дробь — периодическая и для нее существует эквивалент в виде отношения целых чисел. Если у дроби с огромным количеством (миллиарды или миллионы) непериодических десятичных знаков в какой-то момент появляется бесконечная серия повторяющихся цифр, например $…55555555555…$, это также означает, что данная дробь — периодическая и для нее существует эквивалент в виде отношения целых чисел.

Однако в случае иррациональных чисел их десятичные эквиваленты полностью непериодические и не могут превратиться в периодические.

Разумеется, вы можете задать следующий вопрос: «А кто может знать и сказать наверняка, что происходит с дробью, скажем, после триллионного знака? Кто может гарантировать, что дробь не станет периодической?» Существуют способы неопровержимо доказать, что иррациональные числа являются непериодическими, но такие доказательства требуют сложного математического аппарата. Но если бы вдруг оказалось, что иррациональное число становится периодической дробью, это означало бы полный крах основ математических наук. И на самом деле это вряд ли возможно. Это вам не просто на счетах костяшки перекидывать со стороны на сторону, здесь сложная математическая теория.

Материалы по теме:

Оцените материал: