Теорема Пифагора
Вернемся к нашему прямоугольнику, который мы начали рассматривать в предыдущей статье. Нас интересует соотношение длин сторон прямоугольника и длин диагонали, то есть мы решаем ту же задачу, что и 
греческие математики в древности. Поскольку прямоугольник разделяется диагональю на две абсолютно симметричные части, мы можем упростить задачу и отбросить одну половину фигуры, предположим, левую. У нас остался так называемый прямоугольный треугольник.
Еще за много столетий до наших дней египтяне на основе практического опыта установили, что если одна сторона прямоугольного треугольника равна 3 единицам, а другая — 4 единицам, то длина гипотенузы составит 5 единиц. В этом случае соотношение гипотенузы и одной из сторон равно $\frac54$ для более длинной стороны и 5$\frac53$ для более короткой.
Греки подошли к задаче с более общих позиций. Им важно было найти закономерность, то есть соотношение длин сторон прямоугольника и длин диагонали для любого прямоугольного треугольника.
Как гласит история, великий греческий математик Пифагор такую закономерность открыл. Он установил, что для любого прямоугольного треугольника верно следующее утверждение:
сумма квадратов сторон равна квадрату гипотенузы.
Это утверждение получило название теоремы Пифагора. Теорема до сих пор носит имя великого грека, хотя теперь мы знаем, что еще за 600 лет до Пифагора древним китайцам уже было известно это соотношение.
Проверим теорему для треугольника со сторонами 3 и 4. Квадрат одной из сторон равен 3×3=9, квадрат другой стороны равен 4х4=16. Сумма квадратов равна: 9+16=25, то есть квадрат гипотенузы равен 25, следовательно, гипотенуза равна 5.
Рассмотрим другой треугольник со сторонами 5 и 12.
Сумма квадратов сторон этого треугольника равна 5х5+12х12=25+144=169. Следовательно, 169 — это квадрат гипотенузы. Тогда гипотенуза равна $\sqrt{169}$, или 13 поскольку 13х13=169.
Для этого треугольника соотношение гипотенузы к стороне равно $\frac{13}{5}$ для короткой стороны и $\frac{13}{12}$ для длинной стороны.
Используя теорему Пифагора, можно найти соотношение гипотенузы и любой из сторон любого прямоугольного треугольника. Математики Древней Греции могли вздохнуть спокойно, задача была решена. Самое главное заключалось в том, что теорема распространялась на все прямоугольные треугольники, в том числе, разумеется, и на равносторонние, то есть на прямоугольные треугольники, у которых обе стороны равны. А нас сейчас интересуют именно такие треугольники.
Один из них представлен на рисунке слева
.
Максимально упростим задачу и предположим, что стороны треугольника равны 1. Тогда квадрат стороны равен 1х1, а сумма квадратов сторон равна 1х1+1х1=2. Согласно теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен 2, а гипотенуза равна соответственно $\sqrt{2}$.
Казалось бы, теперь грекам осталось сделать совсем немного. Надо было только найти такую дробь, которая являлась бы $\sqrt{2}$, а потом представить ее в виде соотношения целых чисел, и можно праздновать победу. Но все оказалось гораздо сложнее. Почему — читайте в следующей статье.
- Теорема невесты!
- Формула треугольника: площадь и периметр
- Семь способов нахождения площади треугольника
- Рациональные и иррациональные числа
(Проголосуйте первым!)
Загрузка...