Мнимые числа

Опубликовано в Алгебра

До сих пор при обсуждении квадратных корней мы избегали упоминания об отрицательных числах. Например, говорили, что $\sqrt4=2$, потому что 2×2=4. Но точно так же справедливо выражение $\sqrt4=-2$, потому что (-2)х(-2)=4. (Надеюсь, вы не забыли, что при перемножении двух отрицательных чисел мы получаем положительное число.) Мнимые числа

Следовательно, у числа 4 есть два квадратных корня, выражение можно записать следующим образом: $\sqrt4$=±2. Символ «±» обозначает «или плюс, или минус».

Но если оба числа, +2 и -2, являются корнями квадратными из 4, то какое же число будет корнем квадратным из -4? Конечно, (+2)х(-2)=-4, но +2 и -2 — это не одно и то же. Так что перемножение этих двух разных чисел не является возведением в квадрат.

Очевидно, что среди положительных и отрицательных чисел не существует такого, которое, будучи возведено в квадрат, дало бы -4 или любое другое отрицательное число, но давайте проявим упорство, попробуем найти подходящее число и решить эту задачу.

Для начала упростим задачу, насколько это возможно. Любое число, скажем $\sqrt{64}$ , можно разбить на множители и записать в виде $\sqrt{(16×4)}$. Это выражение можно дальше преобразовать в $\sqrt{16}\times\sqrt4$. При этом окончательный ответ не меняется. $\sqrt{64}=8$ и $\sqrt{16}\times\sqrt4=4\times2=8$.

Мы можем решить еще сколько угодно подобных примеров, и всегда это правило будет справедливо. То есть если число разбить на множители, то квадратный корень из этого числа будет равен произведению квадратных корней сомножителей. Это утверждение справедливо и для иррациональных чисел. Например, $\sqrt{15}=\sqrt5\times\sqrt3$. Можно заглянуть в специальные таблицы и найти там $\sqrt{15}$, равный 3,872983.

В свою очередь, $\sqrt{5}=2,236068$, $\sqrt{3}=1,732051$ (конечно, это приближенные значения). При перемножении 2,236068х1,732051 получаем 3,872983, то есть мы доказали, что $\sqrt{15}=\sqrt5\times\sqrt3$.

Отлично, тогда мы можем предложить такую схему. Любое отрицательное число равно произведению соответствующего положительного числа на -1. Другими словами, -64=64х(-1); -276=276х(-1); -1,98=1,98х(-1) и так далее.

Квадратный корень из любого числа, например из -172, можно разбить на сомножители: $\sqrt{-172}=\sqrt{172}\times\sqrt{-1}$. Следовательно, если мы найдем квадратный корень из -1, мы сможем найти квадратный корень любого отрицательного числа. Но тут мы опять сталкиваемся с неразрешимой, казалось бы, задачей: 1×1=1; (-1)х(-1)=1.

Не существует такого числа, которое при перемножении на себя самое дало бы -1.

Следовательно, единственное, что мы можем сделать, — это придумать такое число, Мы можем договориться, что символ # обозначает, что #х# равно отрицательному числу. Тогда #1х#1=-1. Это выражение справедливо по определению, а поскольку оно не противоречит ни одному из математических постулатов, то нет никаких оснований, чтобы его не использовать.

Разумеется, такое число является нереальным, воображаемым. Мы легко можем себе представить, что такое +$1 и -$1. +$1 — это доход в $1, а -$1 — это расход в $1. Но как представить себе #1$? Математики, которые первыми стали работать с этими новыми числами, назвали их мнимыми. В отличие от мнимых чисел обычные отрицательные и положительные числа, как рациональные, так и иррациональные, называются действительными.

Математики не стали изобретать для этих чисел нового знака, наподобие знака + или -. Вместо этого они обозначили $\sqrt{-1}$ буквенным символом «і». Другими словами, іxі=-1, или $\sqrt{-1}$=і Кроме того, (-і)х(-і) также равняется і², то есть -1. Мы также должны записать $\sqrt{-1}$=-і. И последнее, (-і)хі=(-і)²=-(-1)=1. Теперь мы легко можем извлечь квадратный корень из любого отрицательного числа.

Величина $\sqrt{-4}$ равна $\sqrt4\times\sqrt{-1}$, или ±2хі, что можно просто записать как ±2і.

Точно так же величина $\sqrt{-64}$ равна $\sqrt{64}\times\sqrt{-1}$, или ±8хі, что можно просто записать как ±8і, а величина $\sqrt{-15}$ равна $\sqrt{15}\times\sqrt{-1}$ , или ±3,8729832хі, что можно просто записать как ±3,8729832і.

Материалы по теме:

Оцените материал: