Месячные архивы:: Январь 2013

Монотонные функции

Очень распространен в математическом языке термин монотонная функция: так называют функцию, которая является возрастающей или убывающей — в любом из соответствующих смыслов. Употребляются также и термины строго монотонная и нестрого монотонная функция — вполне понятно, что они означают. На графике монотонные функции изображаются линиями, которые на соответствующем промежутке либо постоянно поднимаются, либо постоянно опускаются. Поэтому

Малая теорема Ферма

Эта теорема чрезвычайно полезна для решения задач на остатки степеней, и хотя она является вполне серьезной теоремой из теории чисел и не входит в школьный курс, ее доказательство может быть проведено на нормальном школьном уровне. Оно может быть проведено различными способами, и одно из самых простых доказательств опирается на формулу бинома, или бинома Ньютона, которая

Логика и интуиция в математике

Если на пример, предложенный в предыдущей статье, посмотреть с точки зрения логики, то второй вариант выхода из затруднений будет проще, но с точки зрения математики — сложнее, поскольку для применения этой теоремы прежде всего придется изучать области определения заданных функций, а это не совсем удобно, не всегда просто и, главное, не всегда возможно. В то

Крайние случаи в математике

При рассмотрении функций за скобками, в тени остается обычно много тонких вопросов, относящихся к самой сути математики — к логике рассуждений. Эти вопросы относятся к так называемым крайним случаям, где математическая, логическая ситуация становится парадоксальной, но неминуемо всплывают, если к доказательствам теорем и к решениям задач отнестись более внимательно, и именно с логической точки зрения,

Контрпримеры в математике

На основании некоторого числа примеров, наблюдений, в том числе и в математике, можно сделать некоторое общее предположение — выдвинуть гипотезу. Как бы ни правдоподобно она выглядела, каждая гипотеза нуждается в доказательстве или в опровержении. Доказанные гипотезы в математике — это теоремы, доказательства некоторых из них вы видели в школьных учебниках. Классический способ опровержения гипотез —

Взаимно простые числа.

Два натуральных числа называют взаимно простыми, если единственным их общим делителем является 1, или, что то же самое, их наибольший общий делитель равен 1. Учитывая основную теорему арифметики, можно сказать, что два натуральных числа взаимно просты тогда и только тогда, когда они не имеют общих простых делителей. Заметьте, например, что числа 4 и 9 взаимно

Бесконечное количество бесконечностей

В 1896 году математик Георг Кантор выдвинул теорию «трансфинитных чисел», согласно которой существует бесконечное количество бесконечностей разного рода. Эти бесконечности он обозначил буквой «алеф» древнееврейского алфавита. Каждую такую бесконечность обозначали при помощи правого нижнего индекса при букве «алеф»: $\aleph_{0}$, $\aleph_{1}$, $\aleph_{2}$, $\aleph_{3}$… Первая бесконечность называется «алеф-ноль» и соответствует бесконечной последовательности целых чисел. Это означает, что

Бесконечность действительных чисел

Но все ли бесконечности бесконечны одинаково? Можно ли представить себе бесконечную последовательность, которая не была бы счетной бесконечной последовательности целых чисел? Да, в общем, возможно. Представьте себе линию с делениями через равные интервалы. А теперь представьте себе, что все интервалы между числами разбиты на все возможные дроби. То есть интервалы между целыми числами плотно наполнены