Месячные архивы:: Февраль 2013

История простых чисел

Разные задачи, связанные с простыми числами, были и остаются до сих пор важными и интересными для математики, многие из них до сих пор не решены, и с их исследованием связаны любопытные факты из истории математики. Так, еще в XVI—XVII вв. математиками начали рассматриваться числа вида $2^n-1$, и при исследовании их на простоту в истории было

Признаки делимости на 7 и на 13

Признак делимости – это правило, позволяющее быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу, без необходимости выполнять деление. В предыдущей статье мы рассмотрели признаки делимости на 4, 8, 11 и 25. Признак делимости на 7 связан с разбиением десятичной записи числа на тройки, сейчас мы получим этот признак с помощью сравнений, а сравнения будем

Простые и составные числа

Всем хорошо известно, что натуральное число называется простым, если оно делится только на 1 и на самое себя. Но при решении задач удобнее применять какие-либо языковые переформулировки этого определения или другие свойства простых чисел, равносильных этому определению. Например, число n является простым, если при любом его разложении на натуральные множители ровно один из этих множителей

Признаки делимости на 4, 8, 11 и 25

«Детских» признаков делимости на 3 и на 9, как вы уже могли убедиться, маловато для решения задач, связанных с делимостью целых и натуральных чисел, но еще более «детскими» являются признаки делимости на 4, 8 и 25, а несколько более сложный признак делимости на 11 очень прост и полезен в применении — вы это также видели.

Доказательства непериодичности функций

В обычных школьных задачах доказать периодичность той или иной функции обычно нетрудно: так, чтобы убедиться, что функция $y=sin\frac34 x+sin\frac27 x$ является периодической, достаточно просто отметить, что произведение $T=4\times7\times 2\pi$ является ее периодом: если мы прибавим к х число Т, то это произведение «съест» оба знаменателя и под знаком синуса окажутся лишними только целые кратные числа

Периодические функции

Понятию периодической функции в разных учебниках даются различные определения, однако независимо от этих различий периодическими являются или не являются одни и те же функции, поэтому говорят, что эти определения равносильны, или эквивалентны, т.е. описывают одно и то же свойство функций, означают одно и то же. Наиболее просто, по нашему убеждению, дать определение периодической функции в

Отрицание и оценка в математике

Отрицание — одно из важнейших понятий математического языка. Отрицание высказывания А — это высказывание, смысл которого состоит в том, что высказывание А ложно. Если высказывание А истинно, то его отрицание ложно: сказать, что истина есть ложь, — значит сказать ложь. Точно так же отрицание ложного высказывания истинно: сказать, что ложь есть ложь, — значит высказать

Основная теорема арифметики

Ее обычно формулируют так: всякое натуральное число, отличное от 1, единственным образом представляется в виде произведения простых чисел или так: всякое натуральное число единственным образом представляется в виде произведения степеней разных простых чисел последнее разложение часто называют каноническим, хотя и не всегда, требуя при этом, чтобы простые множители входили в это разложение в порядке возрастания.