Нигде не определенная функция
В определении функции в любой форме речь идет о том, что каждому элементу х из некоторого множества X ставится в соответствие некоторое число у. При этом каждый «нормальный» человек считает «внутри себя», что имеется в виду, конечно, непустое множество X — иначе какой смысл говорить о функции? Да и можно ли вообще говорить о каждом элементе, если никаких элементов просто нет?
Между тем в этом крайнем случае, как и во многих других, математики предпочитают свой выход, отличающийся от здравого смысла. И вы легко согласитесь с математическим вариантом — включением в рассмотрение такого «странного» объекта, как нигде не определенная функция, если почувствуете, какие осложнения возникают при отсутствии, запрещении этого объекта.
В самом деле, тот факт, что буквенное выражение при некоторых значениях переменной может не иметь смысла, никоим образом вас, конечно, не удивляет. Например, выражение $\frac1x$ — не имеет смысла при х = 0, выражение $\sqrt{x}+\sqrt{-x}$ имеет смысл только при х = 0. А выражение $\sqrt{x-1}+\sqrt{-x}$ не имеет смысла ни при одном значении х: для первого слагаемого нужно чтобы х был не меньше 1, а тогда во втором слагаемом под знаком радикала стоит отрицательное число.
С другой стороны, вы знаете аналитический способ задания функции, когда берется выражение с переменной и каждому ее значению ставится в соответствие значение этого выражения при этом значении переменной. А что делать, если это выражение не имеет смысла ни при одном значении х?
Конечно, можно усовершенствовать этот способ задания функции, потребовав сразу же, чтобы исходное выражение с переменной не было таким «плохим», но тогда каждый раз, прежде чем говорить о функции, заданной некоторым выражением, придется убеждаться, что оно определено хотя бы при одном значении переменной.
Но этот выход из положения все равно окажется «страусиным», и нигде не определенная функция «выскочит» в других местах. Например, вы, не задумываясь, складываете и перемножаете любые функции и при этом неявно и неосознанно пользуетесь именно существованием понятия нигде не определенной функции — а какая функция иначе является суммой функций $y=\sqrt{x-1}$ и $y=\sqrt{-x}$? Конечно, и в этом случае можно уточнять, какие функции можно складывать, потребовав, чтобы у складываемых функций области определения имели хотя бы одну общую точку.
В конкретных случаях таких уточнений понадобится очень много, и возможность избежать подобных перегрузок и дает понятие нигде не определенной функции, «ненормальное» для «нормальных» людей и вполне нормальное для математиков. Кстати, все подобного рода фокусы связаны с наличием пустого множества, также «ненормального» для «нормальных» людей, не без оснований считающих, что «множество — это прежде всего много». А против пустого множества вы вряд ли что-либо имеете, и дело в действительности только в привычке.
- Труды Кантора в теории бесконечностей
- Трансфинитные числа
- Плотная бесконечность и дискретная бесконечность
- Фундаментальная теорема
(1 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Загрузка...