Периодические функции

Понятию периодической функции в разных учебниках даются различные определения, однако независимо от этих различий периодическими являются или не являются одни и те же функции, поэтому говорят, что эти определения равносильны, или эквивалентны, т.е. описывают одно и то же свойство функций, означают одно и то же.Периодические функции

Наиболее просто, по нашему убеждению, дать определение периодической функции в два шага:

1. Число $ T\neq0$ называется периодом функции f, если вместе со всяким числом $x \in D(f)$ числа х+Т и x-Т также принадлежат D(f) и выполняется равенство f(x+Т)=f(x).

2. Функция называется периодической, если она имеет хотя бы один период.

Естественно, функцию называют периодической с периодом Т, если число Т является ее периодом.

Сама форма определения периода подсказывает, что периодов у функции может быть много: в нем подразумевается, что всякое число Т с указанным свойством является периодом функции f, а вы прекрасно знаете, что если Т — период f, то любое его кратное, т.е. число вида nТ, где n — любое целое число, является ее периодом.

В частности, поэтому некорректны, строго говоря, часто встречающиеся фразы типа «Периодом функции $y=sinx$ является $2\pi$» — периодов у синуса много, и лишь один из них равен $2\pi$. В то же время не может вызвать никаких возражений фраза — из те же слов, но в другом порядке: «$2\pi$ является периодом функции $y=sinx$».

Отметим, что не всякая периодическая функция имеет основной, т.е. наименьший положительный период — например, периодом постоянной функции является любое число, отличное от 0, но, пожалуй, самая простая из таких функций, отличных от постоянной, — это «экзотическая» функция Дирихле.

Полезно — особенно для экономии времени при решении задач с кратким ответом — знать, что сумма двух периодических функций с одинаковым периодом является периодической функцией, и более того, для периодичности суммы достаточно, чтобы отношение каких-то двух их периодов Т1 и Т2 являлось рациональным числом (такие числа Т1 и Т2 часто называют соизмеримыми).

В самом деле, если $\frac{T_{1}}{T_{2}}=\frac pq$, то $qT_{1}=pT_{2}$ и это число является, очевидно, общим периодом этих функций, а значит, и периодом их суммы. Аналогичные утверждения могут быть доказаны и для разности функций, а также для их произведения и частного — правда, с некоторыми осложнениями из-за нулевых значений.

Кроме того, если функция g имеет период Т, то при любой функции f сложная функция $y= f(g(x))$ также имеет период Т: если х входит в ее область определения, то $x+T$ и $x-T$ в нее также входят, и выполняется равенство $f(g(x+T))=f(g(x))$. В этом утверждении ни в коем случае нельзя перепутать порядок функций f  и g — периодическая функция должна стоять внутри, т.е. применяется к х первой, а в противном случае результат вполне может не оказаться периодической функцией: поэтому, например, функция $y=\sin^2 x$ — периодическая — она может быть представлена в виде $y=f(g(x))$, где $g(x)=sin x$, a $f(x)=x^2$, так что $f(g(x))=(g(x))^2=\sin^2 x$. В то же время, скомбинировав функции f и g в обратном порядке, мы получим функцию: $y=f(g(x))=g(x^2)=sin x^2$, которая периодической не является, хотя установить это не так просто — при всей «очевидности» этого утверждения.

Материалы по теме:
Поделиться с друзьями:
Оцените материал:
1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (11 голосов, рейтинг: 2,09 с 5)
Загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *