Применения монотонности функций

Опубликовано в Алгебра

Свойства монотонных функций, особенно связанные с операциями над функциями, являются исключительно эффективными для решения задач. Эти свойства являются простыми следствиями свойств числовых неравенств. Применения монотонности функций

Рассмотрим две возрастающие функции у=f(x) и y=g(х). Так как неравенства одного знака можно почленно складывать, то a<b=>f(a)<f(b) и g(a)<g(b)=>f(a)+g(a)<f(b)+g(b) и, следовательно,

сумма двух возрастающих функций является возрастающей функцией.

Можно рассуждать и менее формально. В самом деле, очевидно, что если х увеличивается, то значения возрастающих функций f(x) и g(x) также увеличиваются, а значит, увеличивается и их сумма.

Заметим, что разность возрастающих функций не обязана быть возрастающей, например, разность функций у=х и у=2х — убывающая, а разность функций у=x и у=х² вообще не является монотонной.

Неравенства с неотрицательными членами можно почленно перемножать, следовательно,

произведение двух возрастающих функций, принимающих только неотрицательные значения, является возрастающей функцией.

Не менее очевидно и следующее свойство:

если функция у=f(x) — возрастающая (убывающая), то функция у=af(x)+с при а>0 — возрастающая (убывающая), а при а<0 — убывающая (возрастающая).

Для доказательства свойства

если функция у=f(x) — возрастающая и принимает только положительные значения, то функция — f(x) убывающая,

достаточно сослаться на известное свойство дробей с положительными знаменателями.

Таких полезных свойств можно сформулировать слишком много, чтобы их можно было запомнить, и они настолько тесно связаны со свойствами неравенств, что лучше «изобретать» их в каждом конкретном случае. Например:

если функция у=f(x) монотонна, то противоположная ей функция у=-f(x) также монотонна, но имеет другой характер монотонности;
сложная функция, составленная из двух возрастающих функций, является возрастающей.

При решении уравнений и неравенств весьма эффективно применение следующих теорем:

если функция у=f(x) — возрастающая (убывающая), то уравнение f(x)=а имеет не более одного решения;
если функция у=f(x) — возрастающая (убывающая), а функция у=g(x) — убывающая (возрастающая), то уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного решения.

Их графическая интерпретация настолько убедительно показывает их истинность, что может, на наш взгляд, рассматриваться как их доказательство.

Материалы по теме:

Оцените материал: