Гомеоморфные многообразия

Отображение одного многообразия в другое называется гомеоморфизмом, если оно устанавливает между ними взаимно-однозначное соответствие, непрерывное в обе стороны. При этом рассматриваемые многообразия называются гомеоморфными. Гомеоморфные многообразия имеют одинаковую размерность и могут быть замкнутыми только одновременно.

Классификация многообразий относительно гомеоморфизмов является одной из основных задач топологииГомеоморфные многообразияважнейшего раздела современной математики. Эта задача очень трудна и в больших размерностях не решена до сих пор. Классификация многообразий малых размерностей была известна математикам еще в XIX в. А именно, замкнутое 0-мерное многообразие представляет собой конечный набор изолированно лежащих точек. Замкнутое одномерное многообразие гомеоморфно объединению конечного числа попарно не пересекающихся окружностей. Замкнутые двумерные многообразия гомеоморфны подмноообразиям в $R^4$. Часть из них гомеоморфна подмногообразиям в $R^3$, а другие не гомеоморфны никаким многообразиям, лежащим в трехмерном евклидовом пространстве. Далее описаны все двумерные замкнутые подмногообразия в $R^3$.

Простейшим таким многообразием является сфера. Остальные получаются из сферы следующей конструкцией. Представим, что сфера сделана из какого-нибудь пластичного материала, например, из пластилина. Проделаем в ней 2g отверстий, разобьем эти отверстия на пары и прилепим к краям отверстий каждой пары края трубки, изготовленной из такого же материала (всего потребуется g трубок). Сгладив линии соединения, мы получим замкнутое двумерное многообразие, называемое сферой с g ручками (рис. справа).

Обычную сферу можно считать сферой с g=0 ручками. Сфера с одной ручкой гомеоморфна тору — всем известной поверхности баранки (рис. слева). Две сферы с ручками гомеоморфны, если они имеют одинаковое количество ручек. Так вот оказывается, что любое замкнутое двумерное подмногообразие в $R^3$ гомеоморфно объединению конечного числа попарно непересекающихся сфер с ручками (количество ручек у каждой сферы свое).

Рассмотрим сферу с ручками более подробно. Она, очевидно, является связным многообразием. Это означает, что из любой точки многообразия можно попасть в любую другую его точку, перемещаясь по многообразию вдоль некоторой непрерывной кривой (т.е. по образу отрезка при его непрерывном отображении в многообразие). Связное подмногообразие в $R^n$ называется односвязным, если любую петлю на подмногообразии (т.е. непрерывную кривую, концы которой совпадают) можно непрерывной деформацией перетащить по многообразию внутрь шара сколь угодно малого радиуса с центром в любой точке этого многообразия.

Гомеоморфные многообразияВизуально видно, что обычная сфера в $R^3$ односвязна, а сфера, имеющая хотя бы одну ручку, не является односвязной: никакой непрерывной деформацией по сфере с g (g>0) ручками нельзя перетянуть петлю, охватывающую прилепленную ручку, внутрь шара достаточно малого радиуса (меньшего радиуса шара, свободно перемещающегося внутри прилепленных ручек.

Таким образом, мы видим, что если замкнутое двумерное подмногообразие в $R^3$ односвязно, то оно гомеоморфно обычной сфере. Если теперь посмотреть на классификацию замкнутых двумерных многообразий, которые не гомеоморфны подмногообразиям в $R^3$, то станет ясно, что вообще любое замкнутое двумерное односвязное многообразие гомеоморфно сфере. Однако сделать это уже несколько сложнее: надо мыслить категориями четырехмерного пространства. Что же тогда говорить о классификации трехмерных многообразий, если они изначально лежат в пространствах не менее четырех измерений. Короче говоря, существующие результаты по классификации замкнутых трехмерных многообразий не позволяли доказать трехмерную гипотезу Пуанкаре. Требовались совершенно иные методы исследования, с которыми вы можете ознакомится в следующей статье.

Материалы по теме:
Поделиться с друзьями:
Оцените материал:
1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (Проголосуйте первым!)
Загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *