Многообразия и подмногообразия
Сейчас мы попытаемся объяснить все термины, которые использовались в предыдущей статье при формулировке трехмерной проблемы Пуанкаре.
Сначала о многообразиях. Их проще всего представлять себе некоторыми подмножествами евклидовых 
пространств. С евклидовыми пространствами все хорошо знакомы. Метод координат позволяет, например, отождествлять точки евклидовой плоскости с упорядоченными парами вещественных чисел $(x_{1},x_{2})$. При этом расстояние между двумя точками $(x_{1},x_{2})$, $(y_{1},y_{2})$ на плоскости вычисляется по формуле $\sqrt{(y_{1}-x_{1})^2+(y_{2}-x_{2})^2}$. Евклидово n-мерное пространство $R^n$ является множеством всевозможных упорядоченных наборов n вещественных чисел (х1, …, хn), в котором расстояние между двумя точками (х1, …, хn) и (y1, …, yn) вычисляется по формуле $\sqrt{(y_{1}-x_{1})^2+\ldots+(y_{n}-x_{n})^2}$. Числа х1, …, хn называются декартовыми координатами точки (х1, …, хn) в $R^n$.
Множество точек (х1, …, хn) пространства $R^n$, удаленных от данной точки С=(c1, …, cn) на расстояние R>0, называется сферой с центром С и радиусом R. Часть пространства $R^n$, ограниченная этой сферой, т.е. множество точек (х1, …, хn), удовлетворяющих неравенству $(x_{1}-c_{1})^2+\ldots +(x_{n}-c_{n})^2 \leq R^2$, называется шаром (с центром С и радиусом R). Множество точек шара, не лежащих на ограничивающей его сфере, называется внутренностью этого шара. Заметим, что сферы на плоскости принято называть окружностями, а шары — кругами.
Подмножество М пространства $R^n$ называется k-мерным многообразием (точнее, подмногообразием), если для любой точки Р из М существует шар D с центром <Р и разбиение $(x_{1},\ldots, x_{n})=(x_{i_{1}},\ldots, x_{i_{k}})\cup (x_{j_{1}},\ldots, x_{j_{n-k}})$ набора декартовых координат в $R^n$ на два непересекаюшихся набора из k и n-k координат, соответственно, такие, что часть множества М, лежащая внутри D является пересечением внутренности шара D с множеством точек (х1, …, хn), удовлетворяющих системе уравнений
$\left\{ \begin{array}{l} x_{j_{1}}=f_{1}(x_{i_{1}},\ldots,x_{i_{k}}) \\ \ldots \\ x_{j_{n-k}}=f_{n-k}(x_{i_{1}},\ldots,x_{i_{k}}) \end{array} \right. $
где f1, …, fn-k — гладкие функции переменных. Здесь гладкость функции нескольких переменных означает, что если произвольным образом зафиксировать все переменные, кроме одной, то график полученной функции одной переменной будет иметь в каждой точке невертикальную касательную, непрерывно изменяющуюся (без резких скачков угла наклона к оси абсцисс) при перемещении точки касания вдоль графика.
О замкнутых многообразиях и о том, как их можно деформировать, читайте здесь.
(Проголосуйте первым!)
Загрузка...