Исследование гипотезы Пуанкаре

Методы исследования трехмерной гипотезы Пуанкаре были разработаны Столлингсом, Смейлом и Фридманом для доказательства n-мерной гипотезы Пуанкаре в случае n\geq 4. При этом методы Смейла для n>4 не работали при Григорий Перельманn=3 и n=4, а методы Фридмана доказательства четырехмерной гипотезы Пуанкаре не позволяли разобраться с трехмерным случаем. Среди многочисленных идей, предложенных в работах разных авторов и связанных, тем или иным образом, с трехмерной проблемой Пуанкаре, выделялась программа, предложенная американским математиком Ричардом Гамильтоном в 1982 г. Она была посвящена изучению так называемых потоков Риччи римановых метрик на многообразии.

Риманова метрика — это способ измерения длин траекторий частиц, движущихся по многообразию с ненулевой скоростью. Поток Риччи — это деформация римановой метрики со скоростью, определяемой искривленностью многообразия. Гамильтон предположил, что при помощи потоков Риччи можно искривлять трехмерные многообразия, приводя их к некоторым стандартным формам. Исследуя эти формы, можно доказать не только гипотезу Пуанкаре, но и более общую так называемую эллиптизационную гипотезу Тёрстона, описывающую как односвязные, так и некоторые классы неодносвязных трехмерных замкнутых многообразий (Уильям Тёрстон — американский геометр, Филдсовский лауреат 1982 г.).

Гамильтон даже надеялся доказать более сильную геометризационную гипотезу Тёрстона, описывающую геометрию трехмерных многообразий. Однако ему удалось реализовать свою программу только в некоторых частных случаях, т.е. для многообразий, удовлетворяющих сильным дополнительным ограничениям. В общем же случае перед ним возникла совершенно непреодолимая преграда. Дело в том, что за большой промежуток времени поток Риччи может привести к возникновению особенностей римановой метрики — катастрофическому искривлению многообразия в некоторых его точках.

Гамильтон и другие математики долго пытались преодолеть эту преграду, но удалось это сделать только Григорию Перельману. Он предложил совершенно новый метод, который позволяет бороться с возникающими в потоках Риччи особенностями. Суть метода в том, чтобы чередовать искривление многообразия потоком Риччи с некоторыми контролируемыми деформациями в областях, где возможно возникновение особенностей. Это позволило Перельману получить ряд очень глубоких результатов о потоках Риччи и, как следствие, доказать эллиптизационную гипотезу Тёрстона (в частности, трехмерную гипотезу Пуанкаре).

Материалы по теме:
Поделиться с друзьями:
Оцените материал:
1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (2 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Загрузка...
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *