Симметрия
Существуют базовые абстрактные математические понятия, как, например, аналитическая функция. Но многие понятия появились задолго до того, как математика стала абстрактной наукой. Симметрия — яркий тому пример, ведь это прежде всего характеристика восприятия.
Мы все симметричные существа, и не только видим симметрию в окружающем нас мире, но и ищем ее, создаем, можно даже сказать, нуждаемся в ней. Но серьезное исследование симметрии, как и любого другого преобразования, требует необходимой математической подготовки: сначала нужно дать ее четкое определение, затем установить классификацию и, наконец, определить законы, которым она подчиняется.
Симметрия на плоскости
На плоскости существует два типа симметрии: симметрия относительно точки, или центральная, и симметрия относительно прямой, или осевая. Рассмотрим точные определения обоих видов симметрии. Центральная симметрия с центром в точке С — это такое преобразование плоскости, которое переводит каждую точку А в точку А’ таким образом, что точка С становится серединой отрезка АА’.
Центральная симметрия с центром в точке С эквивалентна повороту на 180° вокруг этого центра. Применив центральную симметрию дважды, мы обнаружим, что вернулись в исходное состояние.
Точка А переходит в точку А’ но если применить то же преобразование к точке А’ она перейдет в А. Преобразование, обладающее таким свойством, называется инволютивным. Осевая симметрия относительно оси r определяется как преобразование, переводящее каждую точку А плоскости в точку А’ так, что все точки прямой r равноудалены от точек А и А’. То есть для нахождения преобразования точки А необходимо провести перпендикулярную прямую к оси симметрии, а затем найти на перпендикуляре точку А’ которая находится на том же расстоянии от оси, что и точка А.
При изучении преобразований особенно интересны те элементы, которые инвариантны к этим преобразованиям, то есть не изменяющиеся, переходящие сами в себя. В случае с центральной симметрией есть только одна инвариантная точка — это сам центр симметрии. Кроме того, все прямые, проходящие через центр симметрии, — инвариантные прямые. В случае с осевой симметрией инвариантны все точки на оси симметрии, следовательно, и сама ось тоже. Также инвариантны все прямые, перпендикулярные оси симметрии, причем они инвариантны в целом, то есть симметричное отражение прямой относительно оси, перпендикулярной этой прямой, совпадает с исходной прямой.
Заметим, однако, что точки, лежащие на этих прямых, — не инвариантны (то есть не переходят сами в себя). Осевые симметрии также являются инволютивными, то есть при их повторном применении все остается на своих местах. Кроме того, осевая симметрия:
- сохраняет расстояния между точками;
- переводит прямые в прямые;
- преобразует окружности в окружности с тем же радиусом;
- переводит углы в равные им углы, но с противоположным значением.
Если же вам самостоятельно сложно разобраться в данном вопросе, то вы всегда можете получить помощь для студента на сайте http://savestud.ru. Там работают профессионалы, которые уже не первый год помогают студентам с рефератами, дипломными, курсовыми и т.д.
- Симметрии на плоскости и в пространстве
- Временная симметрия
- Находим онлайн уравнение прямой на плоскости и в пространстве!
- В поисках симметрии
(Проголосуйте первым!)
Загрузка...