Возрастание, убывание, максимум и минимум функции
Возрастание и убывание функции — это то, что можно заметить невооруженным глазом. Например, функция, показанная на графике, — возрастающая на интервале от точки а до точки b и убывающая между точками с и d.
Мы можем сказать, что функция возрастает, когда она поднимается снизу вверх при движении слева направо, и убывает, когда она идет сверху вниз при движении слева направо. Выражаясь математическими терминами, можно сказать, что «функция называется возрастающей на интервале (m>n), если при m<n f(m)<f(n).
Аналогичным образом при переходе из убывающей в возрастающую функция проходит точку минимума.
У всех нас есть интуитивное представление о максимуме и минимуме. Любой человек, которому мы покажем график, представленный ниже, не минуты не сомневаясь, обозначит точку М как максимум и точку m как минимум.
Интуитивное знание в довольно большой степени соответствует математической концепции о максимуме и минимуме. Случается, без сомнения, что в математике интуиция становится важным и необходимым компасом, но так и не превращается в штурвал корабля: любая концепция, независимо от уровня интуиции, требует точного определения. Это особенно важно в области функций, где существуют определенные исключения, противоречащие любой интуиции. Точное определение локального максимума функции звучало бы так: «Говорят, что функция f(x) достигает локального максимума в точке оси абсцисс М, если существует окрестность М, где f(x)<f(M) для любого х, принадлежащего этой окрестности». Если перевести это определение на более понятный язык, то оно подтвердит то, о чем нам говорила интуиция: «с обеих сторон точки» функция принимает значения меньшие, чем в самой точке. То есть максимум точки — это как пик горы, где любая другая точка всегда будет ниже.
Заметим, что мы говорили об «относительном», локальном максимуме. Но максимумы могут быть также «абсолютными», глобальными. Говорят, что функция достигает своего глобального максимума в определенной точке, когда значение функции в этой точке больше других локальных максимумов. Например, следующая функция в точке М достигает глобального максимума, а в точках А и В — локальных максимумов.
В графиках, которые использует спортивная пресса для описания этапов велогонки, обычно показывается несколько локальных максимумов. Перевал 1-й категории (иногда его называют перевалом специальной категории) и представляет собой глобальный максимум.
Все, что было до сих пор сказано о максимумах функции, также можно отнести и к минимумам, нужно лишь заменить максимальный предел минимальным. Следовательно, определение минимума функции будет следующим: Говорят, что функция f(x) достигает локального минимума в точке оси абсцисс т, если существует такая окрестность т, где для всех принадлежащих ей х f(x)>f(m).
Аналогично определению глобального максимума можно дать определение глобального минимума.
- Вогнутость и выпуклость функции, касательная
- Монотонные функции
- Решение задач на наименьшее (наибольшее) значение с помощью производной!
- Крайние случаи в математике
(1 голосов, рейтинг: 1,00 с 5)
Загрузка...