Размещения с повторением

Итак, все три техники счета, которые мы рассмотрели в предыдущих статьях — размещение, перестановка и сочетание — хоть и являются столпами, на которых держится здание комбинаторики, но не создают, тем не менее, «технику для счета» чего угодно. Например, они не помогут решить, сколько денег надо вложить в спортивную лотерею, чтобы с полной уверенностью взять джек-пот. Ясно, что во все виденное нами до настоящего момента вмешивается порядок, и таким образом мы движемся по орбите размещения. Конечно же, есть еще один дополнительный фактор, на который раньше мы не обращали внимания. Этот фактор — возможное повторение элементов. Для начала зададимся вопросом: сколько существует чисел, состоящих из трех цифр? Ответ очень прост: все числа от 000 до 999 включительно, что составляет ровно 1000. Решим эту задачу другим способом — пересчитаем количество размещений с повторением, которые могут формироваться из 10 элементов, взятых из 3 по 3. Ответ, конечно, остается тем же — 1000, но выразим мы его так: 10 • 10 • 10, то есть 10³. Вернемся к нашей спортивной лотерее. Сколько прогнозов можно сделать в лотерее на исход только двух матчей?

Если бы билет спортивной лотереи имел три графы, то есть три матча, то вероятность была бы:

То есть всего 27, или З3 вероятностей.
Количество перемещений с повторением элементов m, взятых из n по n, обычно обозначается следующим образом: VR_m,n или V’_m,n. Из выше изложенного следует, что данное число получается путем умножения m на n. Внутри каждой группы n элементов первое и второе числа могут быть свободно выбраны из доступных m, так что количество возможных упорядоченных пар равняется m раз m, то есть m² В свою очередь, каждая упорядоченная пара может дать начало такому количеству упорядоченных троек, сколько элементов m мы можем выбрать. Следовательно, число возможных упорядоченных троек равно m раз m², то есть m³. И процесс умножения на m продолжается столько раз, сколько необходимо, чтобы покрыть все n в группе. В итоге получается:

V’_m,n = mⁿ
Сейчас мы уже можем ответить на вопрос о стоимости стопроцентного выигрыша в спортивной лотерее.

Так как для выигрыша необходимо покрыть все возможные ходы, то нам надо рассчитать перемещения с повторением трех элементов (1 х 2), взятых из 15 по 15:

V’_3,15 = 3¹⁵=14348907
Это и есть количество лотерейных билетов, которые нам надо купить. Если каждый билет стоит 30 евроцентов, то вся сумма будет равна 4304672,1 евро.

• Сочетание и перестановки с повторением в комбинаторике
• Размещения
• Сочетания
• Перестановки