Размещения
Когда у нас в наличии есть набор элементов m и необходимо сформировать группу элементов n таким образом, чтобы группы различались между собой не только составляющими, но и порядком, в котором эти элементы строятся, это называется образованием размещения элементов m, взятых из n по n, и обозначается как $V_{m,n}$. В случае с двухцветными флагами то, что мы делали в предыдущей статье, — это размещения из четырех элементов, взятых из 2 по 2. Расчет перестановок можно производить прямым счетом, как мы видели ранее на примере с двухцветными флагами. Это всего лишь вопрос порядка и терпения.
Однако вместе с увеличением количества объектов может случиться так, что терпения потребуется существенно больше, чем мы рассчитывали. Нарисовать изображенную выше табличку с 24 трехцветными флагами из четырех цветов — это еще похоже на забавное развлечение. Но вычисление тем же способом, сколько трехцветных флагов можно получить из 28 цветов, больше напоминает божью кару, особенно если нам необходимо быстро вывести это число для срочного решения задачи (например, в генетике). К счастью, есть формула, позволяющая произвести расчет быстро и без необходимости построения таблицы со всеми возможными вариантами. Нам нужно рассчитать $V_{28,3}$, а для этого требуется узнать произведение чисел $28 \times 27 \times 26=19656$.
Это число трехцветных флагов, которые можно получить с помощью 28 цветов. Теперь нет необходимости просчитывать все эти цвета один за другим. Из чего состоит формула? Это очень просто: достаточно умножить последовательные числа с 28 до 28-3+1=26. Почему? Потому что сначала, при выборе первого цвета, мы располагаем 28 возможностями. Как только мы выбрали цвет, возможностей для выбора второго остается 27. Итого, число возможных пар равно $28 \times 27$.
Для третьего цвета количество возможностей уменьшается до 26, таким образом, для трех цветов флага формула следующая: $28 \times 27 \times 26$.
Вернемся к табличке с трехцветными флагами из четырех цветов. Она имеет 24 элемента. А мы можем проверить, что скажет на это наша формула. Так как нам надо рассчитать $V_{4,3}$, то числа, которые надо будет перемножать, должны оканчиваться на 4-3+1=2, то есть $V_{4,3}=4 \times 3 \times 2=24$. Если записать это математическими символами, то мы получаем такую формулу: $V_{m,n} = m \times (m-1) \times (m-2) \times (m-3) \times… \times (m-n+1)$.
(Проголосуйте первым!)
Загрузка...