Сочетания

Опубликовано в Теория вероятности

Вот в этих комбинациях порядок не важен. Сочетания трех букв (А, В, С), взятых 2 по 2, следующие: АВ, АС и ВС. Разницы между парами АВ и ВА мы не видим. Легко заметить, что для одинакового количества элементов чисел при сочетании всегда меньше, чем при размещении: $V_{3,2}=6, C_{3,2}=3$.

Это самый простой пример сочетаний, при дальнейшем разборе темы примеры будут посложнее. Если же этот материал кажется очень сложным, и вам тяжело разобраться где сочетание, а где перестановка, и что такое размещение — помочь здесь сможет онлайн репетитор по математике.

Построить таблицу с сочетаниями гораздо легче и быстрее, чем таблицу с размещениями. Однако численный расчет, наоборот, получается сложнее. Количество комбинаций с элементами m взятыми из n по n, вычисляется следующим образом:
$C_{m,n}=\frac {m!}{n! \times (m-n)!}$

Таким образом, количество сочетаний, которое мы можем получить с 6 элементами, взятыми из 3 по 3, будет: $C_{6,3}= \frac {6!}{3! \times (6-3)!}=\frac {6 \times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}{3\times 2\times 1 \times (3\times 2\times 1 )}=20$.

В математике это выражение $ \frac {m!}{n! \times (m-n)!}$ обычно представляется в таком виде $\left( \begin{array} {c} m \\ n \end{array} \right)$ и называется биноминальный коэффициент.

Биноминальные коэффициенты часто появляются в алгебре, и иногда их вычисление может быть несколько затруднительным. Существует треугольный способ расположения биноминальных коэффициентов, облегчающий расчеты. Он известен как треугольник Паскаля и строится следующим образом:

Каждое число является суммой двух расположенных над ним чисел. Эти числа полностью соответствуют следующему расположению биноминальных коэффициентов:

Чтобы узнать биноминальный коэффициент, нужно лишь найти его эквивалент в первой таблице.

Например, $\left( \begin{array} {c} 5 \\ 2 \end{array} \right)$ находится на третьем месте в предпоследнем ряду, и в первой таблице ему соответствует число 10. Треугольник Паскаля можно сделать любого размера и использовать его как шпаргалку. Имея перед глазами обе таблицы, можно быстро решать подобные задачи: мы имеем урну с пронумерованными от 1 до 6 шарами. Выбираем наугад 4 из них. Вопрос: сколько возможно различных сочетаний?
$\left( \begin{array} {c} 6 \\ 4 \end{array} \right)=15$

Возьмем в качестве примера испанскую лотерею «Да Примитива». В ней необходимо отгадать 6 номеров из 49. Итак, встает вопрос: сколько групп из 6 разных чисел мы можем создать, имея 49 номеров? Тут не важен порядок, так как билет с номерами (2, 16, 21, 32, 47, 49) такой же выигрышный, как и с номерами (2, 47, 21, 32, 16, 49). Разговор идет о сочетаниях. А именно, о количестве комбинаций из 49 чисел, взятых из 6 по 6. Нам необходимо рассчитать значение биноминального коэффициента $С_{49,6}$. Мы можем попробовать нарисовать треугольник Паскаля в 49 рядов, но, в любом случае, этот расчет не сложен, так как его можно сильно облегчить: $\left( \begin{array} {c} 49 \\ 6 \end{array} \right)=\frac {49!}{6! \times (49-6)!}= \frac {49!}{6! \times 43!}=\frac {49 \times 48 \times 47 \times 46 \times 45 \times 44}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}=13983816$

Итак, чтобы точно выиграть в лотерее «Ла Примитива», стоимость билета которой не превышает одного евро, нужно вложить в билеты около 14 млн. Конечно, это абсолютно невыгодно, но ведь сам выигрыш приносит огромное удовлетворение.

Материалы по теме:

Оцените материал: