Непрерывность функции
Одно из наиболее важных свойств, характеризующих функцию, — непрерывность. Ее определение требует хорошего знания понятия функционального предела, а потому мы не будем приводить его здесь. Но для практических целей достаточно определить непрерывность следующим образом: «Говорят, что функция непрерывна в том случае, если вы можете прочертить ее без отрыва карандаша от бумаги».
Все функции, которые мы рассматривали до настоящего момента, были непрерывными: не было необходимости поднимать карандаш от бумаги для того, чтобы их нарисовать. Когда нужно оторвать карандаш, функция называется разрывной, а точка, о которой идет речь, — точкой разрыва. Одна функция может иметь одну точку разрыва, несколько или бесконечное их количество, как в случае с функцией f(х)=Е(x), где Е означает «целая часть». Например, Е (1,24)=1; Е(0,235)=0. В этой функции любому числу соответствует число перед запятой — целое число. Таким образом, всем числам между 1 и 2 (не включая 2) ставится в соответствие 1, числам в интервале между 2 и 3 (не включая 3) ставится в соответствие 2 и так далее. Графически эта функция выглядит как лесенка и является разрывной с точками разрыва в каждом целом значении переменной: чтобы начертить график функции, необходимо поднять карандаш от бумаги в каждой из этих точек.
Мы уже знаем, что Галилей (1564-1642) стал первым, кто установил четкое понятие функциональной зависимости — основную идею функции. Если сильно упростить, то под функцией можно понимать некую связь, отношение между переменными. Такое представление о функциях мы можем обнаружить в первых находках, относящихся к вавилонской и египетской культуре. Более детальное и углубленное изучение взаимосвязи переменных началось в XVII веке. Особенное внимание уделялось прикладному изучению кривых.
Джеймс Грегори (1638-1675) определил функцию как «количество, полученное из других количеств с помощью последовательных алгебраических операций или любой другой операции, которую вы можете себе представить». Грегори также поднял вопрос о возможности включения в число операций пределов функций. Ньютон (1643-1727) использовал термин «неустойчивость» для определения отношения между переменными, а Лейбниц (1646-1716) стал первым, кто использовал слово «функция» в своей «Истории...», опубликованной в 1714 году. Здесь же стоит вспомнить и Эйлера (1707-1783). К его заслугам можно отнести рассмотрение функций вне их связи с геометрией, а также законченное им систематическое изучение и классификацию всех элементарных функций.
- Применения монотонности функций
- Периодические функции
- Симметрии графиков функций
- «Экзотические» функции
(Проголосуйте первым!)
Загрузка...