Бесконечная последовательность
Много ли существует иррациональных чисел? Да, их бесконечное количество. Более того: они могут уместиться на небольшом отрезке нашей прямой. Множество, состоящее из рациональных и иррациональных чисел, определяется как множество вещественных чисел. Оно обычно обозначается буквой Ш и охватывает натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа. Обозначая этот набор чисел на прямой, мы можем быть уверены в том, что теперь она уж точно будет заполнена. Каждая точка на прямой представляет вещественное число, а каждое вещественное число представлено точкой на прямой — так называемой числовой оси.
Мы удостоверились в том, что числовая ось достаточно длинна (бесконечна в обе стороны) для того, чтобы последовательности типа 1, 2, 3, 4,… или 2,4, 6, 8, 10,… могли быть на ней представлены. Но упомянутые выше свойства плотности ограничивают бесконечные числовые последовательности на маленьком отрезке прямой. Так происходит, например, с бесконечной последовательностью
$3, \frac52, \frac73, \frac94, \frac{11}5,…$
где все значения находятся в диапазоне между 2 и 3. Или рассмотрим более простую последовательность
$1, \frac12, \frac13, \frac14, \frac15, \frac16,…$
ограниченную числами 1 и 0. Проанализируем ее. Она начинается с числа 1, вслед за которым числа уменьшаются, но никогда не становятся меньше 0, так как на нуле последовательность останавливается.
Теперь задумаемся: последовательность останавливается на нуле или на каком-то другом числе больше нуля? Если допустить, что она останавливается на числе 1/888463552, то станет ясно, что мы ошибаемся, ведь в последовательности за этим числом идет 1/888463553. На самом деле чисел там еще бесконечное множество. Интуиция подсказывает нам, что 0 в какой-то мере «заключительное» число этой последовательности, хотя и строго не принадлежащее к ней. Выражаясь математическим языком, это и есть предел, к которому стремится последовательность. Также и для первой последовательности, которую мы взяли для примера, можно на интуитивном уровне назначить предел 2 — число, к которому сходятся значения последовательности.
- Предел последовательности его определение и основные теоремы.
- Бесконечность действительных чисел
- Последовательность бесконечно убывающих чисел
- Счетные последовательности чисел
(2 голосов, рейтинг: 3,00 с 5)
Загрузка...