Декартовы уравнения

Опубликовано в Геометрия

Уравнением называют выражение, состоящее из двух частей, которые разделены знаком «равно» таким образом, что в каждой части фигурируют алгебраические комбинации из чисел и букв.

Таким образом, выражение y=2, несмотря на свою простоту, является уравнением. В декартовой плоскости множество точек, чьи координаты удовлетворяют этому уравнению, образуют прямую, параллельную оси Y, которая проходит через точку (0, 2). Уравнение y=x представляет из себя прямую, образованную точками, абсцисса и ордината которых совпадают. Таким образом, речь идет о биссектрисе первого и третьего квадрантов, то есть о прямой, которая делит прямой угол на два одинаковых угла по 45°. Нужно понимать, что уравнение y=x идентично уравнению y-x=0, впрочем, как и уравнению x-y=0.

Всегда, когда в уравнении переменные х или у не возведены в степень (или лучше сказать, когда степень равна единице), данное уравнение представляет собой прямую на плоскости. Приведем еще несколько примеров уравнений прямых:
у=3х-2, 6у-8х=0, -2у=6х+1.

Графически изобразить прямую очень просто: чтобы ее прочертить, необходимо знать лишь две ее точки. Удобнее всего определить те две точки, в которых прямая пересекает оси координат. Это делается следующим образом

Предположим, что мы хотим изобразить прямую y=3х-6. В точке, где прямая пересекает ось абсцисс, ордината должна иметь значение 0. Таким образом, приравнивая у к 0, получаем 0=3х-6 или, что то же самое, 3х=6. Таким образом, х=6/3=2.

Аналогичным образом приравнивая х к 0, получим y=-6. Таким образом, точки пересечения искомой прямой с осями координат таковы: (2, 0) и (0, -6). Теперь мы уже можем начертить прямую.

Также возможно представить посредством уравнений более сложные фигуры: окружности, эллипсы, любые виды конических поверхностей. Понятно, что уравнения, описывающие сложные фигуры, будут более сложными, нежели уравнения прямых. К примеру, уравнение $x^2+y^2=9$ описывает окружность с центром в начале координат и радиусом 3. А формула $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ является уравнением эллипса с центром в начале координат и полуосями 2 и 3.

Кроме того, для обозначения частей плоскости можно использовать неравенства. Например, множество точек х и у, удовлетворяющих условиям $0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq 1$ находится внутри прямоугольника с вершинами (0,0), (2,0), (2,1) и (0,1).

Материалы по теме:

Оцените материал: