Координатная геометрия

Как мы увидели, представление точек и прямых посредством системы координат позволяет рассматривать геометрические задачи как алгебраические. Графическое представление этих фигур на плоскости в некоторых случаях может помочь лучше понять или почувствовать определенные решения, но оно абсолютно не нужно для аналитического решения задачи, которое можно найти полностью «вслепую».Координатная геометрия

Например, найти пересечение линий 2x-3y=1, x+y=0 означает найти общую для обеих прямых точку или, что то же самое, найти такие значения х и у, которые удовлетворяли бы одновременно обоим уравнениям. И это может быть сделано чисто алгебраическими методами — через решение системы уравнений. Решения системы уравнений таковы: x=\frac 15, y=-\frac15, то есть прямые пересекаются в точке с координатами (1/5,-1/5).

Точно так же без какого-либо графического представления прямых y=2x-8, y=2x+35 можно определить, что они параллельны. (Если в двух уравнениях такого типа коэффициенты х одинаковы, то при одинаковых коэффициентах эти уравнения всегда описывают параллельные прямые.)

С помощью этого метода можно узнать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, а также решать самые сложные задачи, связанные с коническими поверхностями. По сути, это основная идея, на которой основана аналитическая геометрия.

В результате научной революции древнейшие теории предстают перед нами в новом свете, и мы обнаруживаем в них то, что не было замечено ни создателями этих теорий, ни теми, кто их развивал.

Так, мы могли бы говорить о «сущностной» геометрии как о предварительном этапе геометрии аналитической. Дело не в том, что математики до Декарта не знали, что геометрические задачи связаны с числами — вспомним, что открытие иррациональных чисел было сделано непосредственно в геометрической сфере. Но древние математики верили в мир фигур, который хоть и был связан с миром чисел, но все же имел определенную автономию, требовавшую своих собственных методов.

Изменение направления развития геометрии можно проиллюстрировать через ту же теорему Пифагора: в то время как старинные формулировки сравнивали площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, с площадью квадратов, построенных на его катетах, современная аналитическая геометрия, как видно из текста, устанавливает взаимосвязь расстояния между двумя точками и соответствующих им декартовых координат.

Материалы по теме:
Поделиться с друзьями:
Оцените материал:
1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (2 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *