Несоизмеримость

Если мы возьмем квадрат со стороной, равной единице, то легко сможем просчитать его диагональ с помощью теоремы Пифагора: $d^2=1^2+1^2=2$, то есть значение диагонали будет равно $\sqrt 2$. Теперь у нас есть два числа, 1 и $\sqrt 2$, представленные двумя отрезками. Однако у нас не получится установить соотношение между ними, как мы делали это раньше. Невозможно совершить унитарные деления на стороне квадрата, чтобы измерить диагональ. Речь идет о несоизмеримых количествах.Несоизмеримость

Таким образом, $\sqrt 2$ не подчиняется никаким типам отношений. Это число не является рациональным. Что особенно важно — это происходит не только с диагоналями всех квадратов, но также и между высотой и стороной равностороннего треугольника или между диагональю и стороной правильного пятиугольника. А значит, было открыто не только иррациональное число, но нечто гораздо более важное: «существование иррациональных чисел». Целые числа не могли точно измерить основные фигуры пифагорейского учения. Можно с абсолютной уверенностью сказать, что открытие иррациональных чисел создало беспрецедентный кризис в древнегреческой математике.

Доказательство того, что $\sqrt 2$ иррационален, можно встретить еще в апокрифических текстах «Начал» Евклида. На современном языке его можно записать следующим образом.

Если $\sqrt 2$ — рациональное число, то его можно выразить как коэффициент двух целых в таком виде: $\sqrt 2=\frac pq$, что является несократимой дробью, то есть не имеющей общих множителей в числителе и знаменателе. При возведении в квадрат она принимает вид: $2=\frac {p^2}{q^2}$, и, следовательно, $p^2=2q^2$.
Это означает, что $р^2$ — четное число, как и р. Таким образом, можно выразить р как кратное двум, то есть р=2n, посредством чего $2q^2=p^2=(2n)^2=4n^2$, и, если упростить, $q^2=2n^2$.

Значит $q^2$ — четное число, как и q. Итак, мы пришли к заключению, что число р, как и q, — четное, а значит дробь p/q имеет общие коэффициенты — вопреки гипотезе, от которой мы отталкивались изначально. Из этого следует, что $\sqrt 2$ не может быть равным коэффициенту двух целых чисел.

Материалы по теме:
Поделиться с друзьями:
Оцените материал:
1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (2 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *