Предел

У понятия «предел» в течении длительного времени не было точной трактовки. Оно долго «варилось» в котле математических исследований, пока Огюстен Луи Коши не дал ему строгое определение:

«Когда значения, последовательно относящиеся к одной переменной, приближаются к максимальному постоянному значению так, что почти не отличаются от него, это значение называется пределом остальных».

Это было первое определение предела, полученное без привлечения какого-либо геометрического инструмента. В современной математике предел является одним из самых загадочных понятий. Многие студенты оканчивают вузы, так и не Пределпоняв этот предмет до конца. Хотя бы из чистого любопытства давайте рассмотрим современное определение предела последовательности $a_n$:
$ \lim_{n \to \infty}a_n=a \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in N |n>n_0 \Rightarrow |a-a_n|<\varepsilon $.

Отчасти сложность этого выражения заключается в точности, достигнутой благодаря различным шлифованиям (особенно в области терминологии), которые со временем повлияли на оригинальное определение Коши. В нем фигурирует знак $\infty$, обозначающий величину, которая не имеет четко определенных границ. Попробуем объяснить данное выше определение, проанализировав последовательность
$1, \frac12, \frac13, \frac14, \frac15, \frac16,…$.

Два первых члена находятся на расстоянии 1/2 (понимая под расстоянием между двумя членами последовательности расстояние между рассматриваемыми числами). И, наоборот, между вторым и третьим расстояние равно 1/3-1/4=1/12. Если мы проверим расстояния между ними, начиная с триллиона, то увидим, что те действительно очень малы. Другими словами, значения последовательности «сжимаются» к нулю, и чем ближе они к нулю, тем больше они сближаются между собой. В любом окружении точки 0 всегда есть элементы последовательности. Определение предела доказывает нам то, что каким бы маленьким ни было окружение нуля, мы всегда найдем бесконечность элементов последовательности внутри этого окружения, что никогда не случается с какими-то другими ее элементами. Последовательности, имеющие предел, называются сходящимися последовательностями.

Многих художников привлекали пластические возможности понятий предела и бесконечности. На иллюстрации — одна из работ голландского художника Маурица Корнелиса Эшера  (1898—1972), вдохновленного этой темой.

Материалы по теме:
Поделиться с друзьями:
Оцените материал:
1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (1 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *