Расстояния и теорема Пифагора

Договорившись о системе координат, можно определить расстояние между двумя точками. В одномерном пространстве расстояние между двумя точками — это длина соединяющего их отрезка. Рассмотрим точки P и Q. Расстояние между ними, которое мы обозначим как d (Р, Q), будет вычисляться как абсолютная величина разности: d (Р, Q)=|P-Q|.расстояние

Мы помним, что абсолютная величина числа равна положительному значению этого числа. Например, |3|=3 и |-3|=3. Для того, чтобы расстояние было определено однозначно, необходимо, чтобы d (Р, Q)=d (Q,P), то есть величина расстояния между точками не должна зависеть от порядка перечисления этих точек.расстояние двумерном пространстве

Кроме того, расстояние всегда должно быть положительной величиной. Именно поэтому расстояние вычисляют с помощью модуля. Например, расстояние между точками 4 и 9 будет определяться не как: 4-9=-5, а по нашему определению: d (4,9)=|4-9|=|-5|=5.

Давайте посмотрим, как определяется расстояние между двумя точками в двумерном пространстве, то есть между точками на плоскости. Предположим, что у нас есть две точки P и Q, координаты которых заданы как (a, b) и (c, d).

Расположив обе точки на декартовой плоскости, мы можем построить прямоугольный треугольник РОQ. Длины катетов этого треугольника известны: РО=c-a и OQ=d-b.
Чтобы найти значение гипотенузы РQ, применим теорему Пифагора:
$(PQ)^2=(PO)^2+(OQ)^2=(c-a)^2+(d-b)^2$, откуда $d(PQ) =\sqrt {(c-a)^2+(d-b)^2}$.
Таким образом, мы получили формулу для вычисления расстояния между двумя любыми точками на плоскости. Например, расстояние между точками Р (3, 5) и Q(-2,7) в соответствии с этой формулой вычисляется так:
$d(PQ) =\sqrt {(-2-3)^2+(7-5)^2}=\sqrt {(-5)^2+(2)^2}=\sqrt {25+4}=\sqrt {29}$.

растояние в трехмерном пространствеПосмотрим, что произойдет в трехмерном пространстве. Предположим, что мы хотим вычислить расстояние между точками Р (a, b, c) и Q(d, e, f).

Здесь мы также будем опираться на теорему Пифагора, но применим ее в два последователь­ных этапа.

Расстояние, которое нам нужно найти, явля­ется диагональю в параллелепипеде (это фигура, похожая на обувную коробку). Два прямоуголь­ных треугольника, к которым мы будем приме­нять теорему Пифагора, закрашены на рисунке разными цветами. Фиолетовый треугольник рас­положен горизонтально, желтый — вертикально. В фиолетовом треугольнике значения катетов та­ковы: |d-a| и |e-b|. Поэтому длина гипотенузы вычисляется как $(d-a)^2+(e-b)^2$

Рассмотрим теперь желтый прямоугольный треугольник. Длину одного из двух его катетов мы только что рассчитали. Другой катет, вертикальный, имеет длину |f-c|. Вновь применим теорему Пифагора и получим искомое значение гипотенузы: $\sqrt{[ \sqrt{(d-a)^2+(e-b)^2}]^2+(f-c)^2}=\sqrt{(d-a)^2+(e-b)^2+(f-c)^2}$.
Таким образом, мы получили формулу для вычисления расстояния между двумя любыми точками трехмерного пространства:
$d(PQ)=\sqrt{(d-a)^2+(e-b)^2+(f-c)^2}$.
Например, расстояние между точками Р (2, -1,6) и Q(1, 5, 3) будет равно:
$d(PQ)=\sqrt{(1-2)^2+(5-(-1))^2+(3-6)^2}=\sqrt{(-1)^2+6^2+(-3)^2}=\sqrt{1+36+9}=\sqrt{46}$.
Этот способ определения расстояния между точками можно применять к пространствам любого измерения. Обычно для n-мерного пространства
расстояние между точками $Р (x_1, x_2,…, x_n)$ и $Q(y_1, y_2, …, y_n)$ задается формулой:
$d(PQ)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+…+(x_n-y_n)^2}$.
Заметим, что применяя теорему Пифагора для получения формул для вычисления расстояния между двумя точками в двух- и трехмерном про-странствах, мы получили обобщение данной теоремы для n-мерных пространств, где n>2.

Материалы по теме:
Поделиться с друзьями:
Оцените материал:
1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (2 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *