Труды Кантора в теории бесконечностей
Содержание статьи:
Отрезок, квадрат и куб
Докажем, что число точек, содержащихся на отрезке и в квадрате, одинаково. Кантор нашел неожиданное и очень простое доказательство этого утверждения, столь же гениальное, как и все остальные найденные им доказательства. Возьмем отрезок единичной длины, точки которого выражаются десятичными дробями вида
0,5783452199856400453…,
то есть десятичными дробями, лежащими в интервале от нуля до единицы.
Точки квадрата с единичной стороной характеризуются двумя координатами (a,b), где a и b также выражены десятичными дробями в интервале от 0 до 1. Кантор установил взаимно однозначное соответствие между точками отрезка и точками квадрата следующим образом: каждой точке (a,b) квадрата будет соответствовать точка c отрезка, такая, что ее координата составлена из координат точек a и b так, как показано на рисунке.
Нетрудно видеть, что любая точка квадрата соответствует точке отрезка, и наоборот. Аналогично доказывается, что кардинальное число куба или гиперкуба с любым числом измерений всегда равно кардинальному числу отрезка.
Трансфинитные бесконечности
Кантор создал ряд трансфинитных чисел. Если определить $\aleph_{0}^{\aleph_{0}}=\aleph_{1}$
и, в общем,
$\aleph_{n}^{\aleph_{n}}=\aleph_{n+1}$,
получим ряд возрастающих кардинальных чисел
$\aleph_{0}< \aleph_{1} < \aleph_{2}< \aleph_{3} < \aleph_{4} < \aleph_{5} < …$
Это своеобразное «шествие» трансфинитных гигантов.
«Прирученная» бесконечность
Георг Кантор, воспитанный в глубоко религиозной среде, сообщил, что создал числа, превосходящие по размерам все, что можно постичь во Вселенной. Само собой разумеется, что в свое время математика бесконечности встретила серьезное сопротивление. Фактически до настоящего времени существуют определенные расхождения между классической математикой и математикой бесконечности. В любом случае с появлением теорий Кантора бесконечность перестала быть чем-то непостижимым и превратилась в логичный объект, который можно попытаться «приручить».
Хотя с бесконечностями мы в реальной жизни мало работаем, зато с конечными достаточно часто. Например, надо подсчитать где купить что-то подешевле, как его продать подороже, также учесть доставку и другие расходы, чтобы выйти в прибыль. Для таких дел нужна не только математика, но и психология, логика, управленческие навыки и т.д., а всё это объедено в логистику. Вот, например, закупочная логистика очень важный момент в работе предприятия, на такую должность не возьмёшь кого-нибудь. Так как умный человек, который прошёл дополнительные курсы по данному предмету, сможет не только дешевле закупить, но усовершенствовать весь процесс, улучшить отношение с поставщиками и т.д.
- Трансфинитные числа
- Бесконечное количество бесконечностей
- Бесконечность действительных чисел
- История иррациональных чисел
(1 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Загрузка...