Сферические треугольники

Опубликовано в Геометрия

Мир, в котором мы живем, имеет форму сферы, и то же самое можно сказать о небесном своде.

Если мы попытаемся нарисовать на сферической поверхности знакомые геометрические фигуры, они претерпят заметные изменения.

Если бы двухмерное существо, живущее на сферической поверхности, решило нарисовать треугольник, то должно было бы начать с прямых. И для него, как для обитателя плоского мира, прямая была бы кривой маленькой протяженности между двумя точками. На сферической поверхности эти «более прямые» линии, которые обычно называются геодезическими, — большие круги пересечения поверхности с плоскостями, проходящими через центр. Таким образом, сферический треугольник — часть сферической поверхности, ограниченной тремя большими кругами, при условии, что размер каждой из дуг меньше 180 градусов.

Содержание статьи:

1 Диэдры (двугранные углы)
2 Измерение углов и сторон
3 Градусы и длины

Диэдры (двугранные углы)

В рамках сферической геометрии, которая изучает фигуры, погруженные в трехмерное пространство, рассмотрим понятие угла. Так же как и плоский угол — это часть плоскости, заключенная между двумя лучами этой плоскости, угол в трех измерениях определяется как часть пространства между двумя полуплоскостями и называется двугранным углом. Например, стена и потолок в комнате являют собой двугранный угол, который, как правило, прямой (90 градусов), а если угол образуется между стеной и наклонной крышей — это тупой угол (больше 90 градусов).

Измерение углов и сторон

В плоской тригонометрии углы измеряются в градусах, а стороны — в сантиметрах, метрах или других единицах длины.
В сферической геометрии ситуация несколько иная, так как стороны сферического треугольника можно измерить единицами для измерения дуги.

В принципе, можно было бы измерить стороны этих треугольников в метрах, километрах или морских милях, как и делается при расчете расстояний на земной сфере, но это не лучший вариант, когда речь идет о геометрических решениях задач, задаваемых фигурами такого вида. Самый естественный способ измерения сторон сферического треугольника — в градусах (или в любой другой мере измерения дуги). Причина заключается в следующем: представим себе плоский угол, например, в 60 градусов, и рассмотрим часть дуги, которая определяет единичную окружность.

Так как сторона сферического треугольника — это часть большого круга, то естественно измерять его таким образом, учитывая, что он определен центром окружности. Для измерения углов нам необходимо измерить диэдры, которые его определяют. Две плоскости, которые при пересечении с поверхностью сферы формируют сферический треугольник, образуют диэдр. Из этого следует, что размер угла, образованного этими двумя сторонами, определяется размером диэдра, его формирующего.

Градусы и длины

Когда мы говорим, что дуга АВ равна 60 градусам, мы ничего не говорим о длине этой дуги. Тем более что угол дуги CD тоже равен 60 градусам. И при этом прекрасно видно, что длина дуги СВ больше, чем длина АВ. Предположим, что меньшая из двух окружностей имеет радиус r. Дугу АВ можно определить посредством перекрестного умножения: если 360 градусов соответствуют длине всей окружности ($2\pi r$), то 60 градусам будет соответствовать длина $\frac{60 \times 2\pi r}{360}=\frac{\pi r}{3}$, то есть длина одной трети — $\pi$ раз радиуса, о котором идет речь. Если мы говорим об окружности, радиус которой равен одному сантиметру, то дуга, равная 60 градусам, будет иметь длину 3,14/3 = 1,046 сантиметра, и если бы речь шла о дуге меридиана через поверхность земли, то эта длина составляла бы около 6700 километров.

Тем не менее, в сферической тригонометрии мы заинтересованы не столько в измерении длины, сколько во взаимоотношениях между углами и сторонами. Это и есть одна из причин, по которым мы всегда говорим об окружностях и сферах единичного радиуса. Арабские математики в конце VIII века ввели значение r=1 и дали современную форму тригонометрическим функциям.

Материалы по теме:

Оцените материал: