Что такое интеграл?

В переводе с латинского языка интеграл означает «целый». Это одно из наиболее важных и распространенных понятий в высшей математике, которое появилось из-за необходимости находить функции по их производным или измерять объёмы, площади, работу нескольких сил за конкретный промежуток времени, длины дуг и т.д. В соответствии с этими задачами принято выделять определённые и неопределенные интегралы.

Обозначение

Первым символ для обозначения интегрирования придумал Ньютон. Он применял для этого небольшой квадрат. Однако данное обозначение не получило серьезного распространения. Сегодняшнее обозначение неопределенного интеграла было придумано в 1675 году Лейбницем:

Что касается обозначения определённого интеграла, где указаны пределы интегрирования, то его в 1819 году предложил Жан Батист Фурье.

Виды интегралов

Первообразная функции f(x) — функция F(x), производная которой при любом значении х равняется f(x). Добавляя постоянную к первообразной определенной функции, снова можно получить первообразную этой же функции. Соответственно, имея единственную первообразную F(x) функции f(x), можно получить единое выражение всех первообразных данной функции в виде F(x) + С. Подобное выражение первообразных принято называть неопределённым интегралом функции f(x):

Одно из главных правил интегрального исчисления определяет, что любая непрерывная функция f(x) имеет неопределённый интеграл.

Что касается определённого интеграл от функции f(x) с верхним пределом b и нижним пределом а, то он определяется в качестве разности:

где F(x) является первообразной функции f(x).

Определённый интеграл можно выразить посредством любой первообразной F(x). Верным является и обратное. Первообразную F(x) можно записать в следующем виде:

В этой формуле а – это произвольная константа. Таким образом, интеграл можно записать в виде:

История возникновения интеграла

Если углубиться в историю, то можно утверждать, что интегрирование зародилось в древнем Египте, приблизительно в 1800 году до нашей эры. Первой известной методикой вычисления интегралов считается способ исчерпывания Евдокса. Он предпринимал попытки найти объёмы и площади фигур, разрывая их на несколько частей, для которых уже известны площадь или объём. Через некоторое время данная методика была развита Архимедом. Он применял ее для вычислений площадей парабол и примерного расчёта площади круга. Подобные методы независимо разрабатывались в Китае в 3 столетии нашей эры Лю Хуэйем. Он использовал их с целью определения площади круга.

Следующий внушительный прогресс в исчислении интегралов произошел только в XVI веке. В работах с методом неделимых Кавальери, а также в научных трудах Ферма, были заложены основы сегодняшнего интегрального исчисления.

Последующие шаги были сделаны в середине XVII столетия Торричелли и Барроу, которые предоставили первые намеки на взаимосвязь между дифференцированием и интегрированием.

Зачем и кому нужны интегралы?

Ученые стремятся любые физические явления выражать в виде математических формул. Когда в руках есть определенная формула, то в дальнейшем уже можно с ее помощью посчитать все, что необходимо. А интеграл является одним из главных инструментов работы с любыми функциями.

К примеру, имея формулу круга, можно посредством интеграла вычислить его площадь. Если есть формула шара, то можно вычислить его объем. Посредством интегрирования можно найти работу, энергию, массу, давление, электрический заряд и прочие важные величины.

• Всё об интегралах!
• Как научится быстро и легко решать интегралы?
• Площадь криволинейной трапеции через интеграл...
• Площадь эллипса через определённый интеграл!