Объемы и поверхности тел

Обозначения: V — объем; S — площадь основания; S_бок — площадь боковой поверхости; P — площадь полной поверности; h — высота; a, b, c — измерения прамоугольного параллелепипеда; A — апофема правильной пирамиды и правильной усеченой пирамиды; l — образующая конуса; p — периметр; r — радиус основания; d — диаметр основания; R — радиус шара; D — диаметр шара.

Призма прямая и наклонная, параллелепипед:
V = Sh.

Прямая призма:
S_бок = ph.

Параллелепипед прямоугольный:
V = abc, P = 2(ab+bc+ac).

Куб:
V = a³, P = 6a².

Пирамида, правильная и неправильная:
V = 1/3Sh.

Пирамида правильная:
S_бок = 1/2pA.

Усеченная пирамида, правильная и неправильная:
V = 1/3(S₁ + √(S₁S₂) + S₂)h.

Усеченная пирамида правильная:
S_бок = 1/2(p₁ + p₂)A.

Цилиндр круговой (прямой и наклонный):
V = Sh = πr²h = 1/4πd²h.

Цилиндр круглый:
S_бок = 2πrh = πdh.

Конус круговой (круглий и наклонный):
V = 1/3Sh = 1/3πr²h = 1/12πd²h.

Конус круглый:
S_бок = 1/2pl = πrl = 1/2 πdl.

Усеченный конус круговой (круглый и наклонный):
V = 1/3πh(r₁² + r₁r₂ + r₂²) = 1/12πh(d₁² + d₁d₂ + d₂²).

Усеченный конус круглый:
S_бок = π(r₁ + r₂)l = 1/2π(d₁ + d₂)l.

Шар:
V = 4/3πR³ = 1/6πD³, P = 4πr² = πD².

Полушание:
V = 2/3πR³ = 1/12πD³, S = πR² = 1/4πD², S_бок = 2πR² = 1/2πD², P = 3πR² = 3/4πD².

Шаровой сегмент:
V = ph²(R-1/3h) = (πh)/6(h² + 3r²), S_бок = 2πRh = π(2r² + h²).

Шаровой слой:
V = 1/6πh³ + 1/2π(r₁² + r₂²)h, S_бок = 2πRh.

Шаровой сектор:
V = 2/3πRh’
(h’ — высота сегмента, содержащегося в секторе).

Полый шар:
V = 4/3π(R₁³ — R₂³) = π/6(D₁³ — D₂³), P = 4π(R₁² + R₂²) = π(D₁² + D₂²)
(R₁ и R₂ — радиусы внешней и внутренней шаровых поверхностей).

• Формулы площади поверхности тел
• Парадоксальные песочные часы
• Пример нахождения площади криволинейной трапеции через определённый интеграл.
• Геодезические линии на плоскости и на поверхности цилиндра

Поделиться с друзьями:

Оцените материал:

(2 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)

Загрузка...