Предел последовательности его определение и основные теоремы.

Определение. Последовательностью элементов множества E называют отображение

N → E:n → x_n,
то есть функция , которая каждому натуральному числу n ∈ N ставит в соответствие элемент x_n ∈ E.

Элементы x₁, x₂, …, x_n, …. называются членами последовательность, а x_n — общим членом этой последовательности.
Множество E может быть различным, как числовым (E=R), так и векторным (E=R^m), функциональным (E=C[a,b]) или даже матричным (E=M(готическое)).

Определение. Последовательность (x_n) действительных числе называют сходящейся, если существует действительное число a и для ∀ ε > 0 существует такое натуральное число m, что для всех n > m справедливо неравенство:

|x_n — a| < ε .

При этом число a называется пределом последовательности (x_n), что символически записывают:

Все выше сказанное можно записать с помощью логических символов и это будет выглядеть следующим образом: числовая последовательность (x_n) называется сходящей, если:

∃ a ∈ R ∧ ∀ ε > 0 ∃ m ∈ N: ∀ n > m ⇒ |x_n — a| < ε .
Если последовательность не есть сходящейся, то она называется расходящейся.
Теорема. Если последовательности (x_n) и (y_n) действительных числе сходятся и

то

Также рассмотрим признаки существования предела.
Критерий Коши:

1. Если
   
2. Монотонная и ограниченная последовательность чисел имеет предел.
3. Числовая последовательность (x_n) имеет конечный предел тогда и только тогда, когда
   ∀ ε > 0 ∃ m ∈ N: ∀ n > m ∧ ∀ p ∈ N ⇒ |x_n+p — x_n| < ε

Справедлива теорема про то, что последовательность вида n → (1+1/n)ⁿ, n ∈ N, имеет конечный предел и это будет числом e:

• Бесконечная последовательность
• Фундаментальная теорема
• Бесконечность действительных чисел
• Предел