Пусть двумерная непрерывная случайная величина задана такой плотностью:
плотность двумерной непрерывной случайной величины
Найдём математическое ожидание по следующим формулам:
формулы математического ожидания
Подставим данную выше плотность в эти формулы и вычислим интегралы, сразу видим что $M \xi$ и $M \eta$ отличаются только изменением $x$ на $y$, поэтому результат будет тот же в обоих случаях. Хочу сразу напомнить, что при нахождении двойного интеграла, сначала берётся интеграл по внутренней переменной, а потом по внешней. Тогда для упрощения вычислений, расписываем всё только для первого, а второй будет высчитываться аналогически (и также в следующих случаях):
вычисление математического ожидания
После нахождения математического ожидания найдём дисперсию, для этого нам понадобятся следующие формулы:
формула дисперсии
Видим, что мы уже нашли $M \xi$ и $M \eta$ надо найти $M \xi^2$ и $M \eta^2$, в этом случае используем формулы:
дисперсия для непрырывной случайной величины
Подставив плотность и вычислив интегралы, мы получим:
математическое ожидание для дисперсии
Теперь полученные данные можно подставлять в формулу для дисперсии:
вычисление дисперсии
Найдём ковариацию по следующей формуле:
формула ковариации
Опять видим, что некоторые данные $M \xi$ и $M \eta$ у нас уже есть, а надо ещё найти $M ( \xi \eta)$, в этом нам поможет следующая формула:
вычисление двойных интегралов
Опять подставляем данную плотность и вычисляем соответствующие интегралы:
интегрирование плотности
Теперь, имея уже все данные, можем подставлять их в формулу для ковариации:
вычисление ковариации
Ковариационная матрица будет такая:
Ковариационная матрица
Ещё можем вычислить корреляцию. Вот формула для её нахождения:
формула корреляции
Видим, что для нахождения корреляции, нам ещё надо найти среднее квадратическое отклонение, для этого используем следующие формулы и потом подставим все полученные данные в формулу для корреляции:
вычисление корреляции

Материалы по теме:
Поделиться с друзьями:
Оцените материал:
1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (Проголосуйте первым!)
Загрузка...