Двумерная непрерывная случайная величина.

Пусть двумерная непрерывная случайная величина задана такой плотностью:

Найдём математическое ожидание по следующим формулам:

Подставим данную выше плотность в эти формулы и вычислим интегралы, сразу видим что $M \xi$ и $M \eta$ отличаются только изменением $x$ на $y$, поэтому результат будет тот же в обоих случаях. Хочу сразу напомнить, что при нахождении двойного интеграла, сначала берётся интеграл по внутренней переменной, а потом по внешней. Тогда для упрощения вычислений, расписываем всё только для первого, а второй будет высчитываться аналогически (и также в следующих случаях):

После нахождения математического ожидания найдём дисперсию, для этого нам понадобятся следующие формулы:

Видим, что мы уже нашли $M \xi$ и $M \eta$ надо найти $M \xi^2$ и $M \eta^2$, в этом случае используем формулы:

Подставив плотность и вычислив интегралы, мы получим:

Теперь полученные данные можно подставлять в формулу для дисперсии:

Найдём ковариацию по следующей формуле:

Опять видим, что некоторые данные $M \xi$ и $M \eta$ у нас уже есть, а надо ещё найти $M ( \xi \eta)$, в этом нам поможет следующая формула:

Опять подставляем данную плотность и вычисляем соответствующие интегралы:

Теперь, имея уже все данные, можем подставлять их в формулу для ковариации:

Ковариационная матрица будет такая:

Ещё можем вычислить корреляцию. Вот формула для её нахождения:

Видим, что для нахождения корреляции, нам ещё надо найти среднее квадратическое отклонение, для этого используем следующие формулы и потом подставим все полученные данные в формулу для корреляции: