Решим такую задачу:
Найти корень четвёртой степени с комплексного числа:
Решение:
Для начала нам надо перевести это комплексное число к тригонометрической форме.
Напомним некоторые формулы.
Если дано комплексное число
то модуль этого числа вычисляется по формуле
Найдём модуль нашего числа:
|z|=√ |
(-2)2 + (-2√3)2 |
=√ |
4 + 12 |
= 4 |
. |
Теперь с формул cos(λ) = |
|
; |
sin(λ) = |
|
нам надо вычислить угол λ. |
В нашем случае cos(λ) = |
|
= — |
|
; |
sin(λ) = |
|
= — |
|
. |
Решив систему из этих уравнений мы видим, что λ = |
|
Теперь можем записать наше число через тригонометрическую форму:
— 2 -2√3 = 4 ( cos |
|
+ i sin |
|
). |
Имеем следующую формулу для вычисления корней:
$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|} (\cos \frac{\lambda + 2 \pi k}{n} + i \sin \frac{\lambda + 2 \pi k}{n} )$
Подставим наши данные:
$\sqrt[n]{z} = \sqrt[4]{4} (\cos \frac{\frac{4 \pi}{3} + 2 \pi k}{4} + i \sin \frac{\frac{4 \pi}{3} + 2 \pi k}{4} ) = \sqrt{2} (\cos \frac{\frac{4 \pi}{3} + 2 \pi k}{4} + i \sin \frac{\frac{4 \pi}{3} + 2 \pi k}{4} )$, где k меняется от 0 до 3. Таким образом, мы найдём все четыре корня.
Подставим наши данные в эту формулу и найдём соответствующие косинусы, синусы, что бы перейти опять к арифметическому виду.
w0 = √2 ( cos |
|
+ i sin |
|
) = |
√2 ( |
|
+ i |
|
) = |
|
+ i |
|
; |
w1 = |
√2 |
( |
cos |
|
+ i |
sin |
|
) = |
√2 |
( |
cos |
|
+ i |
sin |
|
) = |
√2 |
( |
— |
|
+ i |
|
) = |
w2 = √2 ( cos |
|
+ i sin |
|
) = |
√2 ( cos |
|
+ i sin |
|
) = |
√2 ( — |
|
— i |
|
) = |
w3 = √2 ( cos |
|
+ i sin |
|
) = |
√2 ( cos |
|
+ i sin |
|
) = |
√2 ( |
|
— i |
|
) = |
На первый взгляд эти данные могут казаться невероятными, но они реально используются при решении многих задач в кибернетике, физике и других точных науках.
Материалы по теме:
Оцените материал:





(
3 голосов, рейтинг:
3,67 с 5)

Загрузка...
Эм,а попроще способа найти угол нет ? Чето ось чертить надо помню было…системы тригонометрических уравнений решать не умею(
К сожалению, я попроще не знаю 🙁 . Надо чертить, что бы не ошибиться в четверть!