Решим такую задачу:

Найти корень четвёртой степени с комплексного числа:

— 2 — 2√ 3 i .

Решение:

Для начала нам надо перевести это комплексное число к тригонометрической форме.
Напомним некоторые формулы.
Если дано комплексное число

z = x + yi ,

то модуль этого числа вычисляется по формуле

|z|=√ x2 + y2 .

Найдём модуль нашего числа:

|z|=√ (-2)2 + (-2√3)2 =√ 4 + 12 = 4 .
Теперь с формул cos(λ) =
x
|z|
; sin(λ) =
y
|z|
нам надо вычислить угол λ.
В нашем случае cos(λ) =
-2
4
= —
1
2
; sin(λ) =
— 2√3
4
= —
√3
2
.
Решив систему из этих уравнений мы видим, что λ =
4π
3

Теперь можем записать наше число через тригонометрическую форму:

— 2 -2√3 = 4 ( cos
4 π
3
+ i sin
4 π
3
).

Имеем следующую формулу для вычисления корней:
$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|} (\cos \frac{\lambda + 2 \pi k}{n} + i \sin \frac{\lambda + 2 \pi k}{n} )$
Подставим наши данные:
$\sqrt[n]{z} = \sqrt[4]{4} (\cos \frac{\frac{4 \pi}{3} + 2 \pi k}{4} + i \sin \frac{\frac{4 \pi}{3} + 2 \pi k}{4} ) = \sqrt{2} (\cos \frac{\frac{4 \pi}{3} + 2 \pi k}{4} + i \sin \frac{\frac{4 \pi}{3} + 2 \pi k}{4} )$, где k меняется от 0 до 3. Таким образом, мы найдём все четыре корня.
Подставим наши данные в эту формулу и найдём соответствующие косинусы, синусы, что бы перейти опять к арифметическому виду.

w0 = √2 ( cos
π
3
+ i sin
π
3
) = √2 (
1
2
+ i
√3
2
) =
√2
2
+ i
√6
2
;
w1 = √2 ( cos
10π
12
+ i sin
10π
12
) = √2 ( cos
5π
6
+ i sin
5π
6
) = √2 ( —
√3
2
+ i
1
2
) =
= —
√6
2
+ i
√2
2
;
w2 = √2 ( cos
16 π
12
+ i sin
16 π
12
) = √2 ( cos
4 π
3
+ i sin
4 π
3
) = √2 ( —
1
2
— i
√3
2
) =
= —
√2
2
— i
√6
2
;
w3 = √2 ( cos
22 π
12
+ i sin
22 π
12
) = √2 ( cos
11 π
6
+ i sin
11 π
6
) = √2 (
√3
2
— i
1
2
) =
=
√6
2
— i
√2
2
.

На первый взгляд эти данные могут казаться невероятными, но они реально используются при решении многих задач в кибернетике, физике и других точных науках.

Материалы по теме:
Поделиться с друзьями:
Оцените материал:
1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (3 голосов, рейтинг: 3,67 с 5)
Загрузка...