Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (конкретный пример)

.
Больше информации по дифференцированию вы можете получить здесь!
Возьмём, для примера, вот такое линейное неоднородное дифференциальное уравнение:

Выпишем характеристическое уравнение, такого же, но однородного уравнения. И найдём его корни:

Видим, что имеем один вещественный корень, поэтому решение однородного уравнения будет такое (найти решение однородного уравнения вы можете здесь):

Видим, что у нас есть $e^x$ и $sin(x)$, и поэтому разделим, ту часть нашего неоднородного уравнения, что идёт после знака равности, на две:

Видим, что для первой функции коэффициент возле степени экспоненты единица и как раз она и есть корнем нашего характеристического уравнения, поэтому надо помножить на $x$, а потому что корень кратности два, то на $x^2$. И ещё, возле экспоненты есть многочлен первой степени $3x$, то запишем его общею форму $Ax+B$. Видим, что для второй функции коэффициент при $x$ не совпадает с корнем характеристического уравнения, поэтому запишем просто в общем виде.

Додадим эти две функции.

Что бы подставить это значение в наше начальное уравнение, нам надо ещё найти две производные.

Подставляем полученные результаты в начальное уравнение:

Прировняем коэффициенты при $e^x$:

Упростим эту равность.

Прировняем коэффициенты при $x$ и без $x$. И найдём неизвестные $A$ и $B$.

Точно также найдём остальные неизвестные, прировняв коэффициенты при других функциях.

Теперь мы можем записать нашу функцию уже с известными коэффициентами:

И найдём общее решения для начального дифференциального уравнения: