Неопределённый интеграл (конкретные примеры)

.

• Примеры с заменой переменной :
  1. $ \int \frac{dx}{1+\sqrt{x}} $
     $ \int \frac{dx}{1+\sqrt{x}} = \left | \begin{array} {l} t= 1+\sqrt{x}; \, \sqrt{x}=t-1; \\
     x=t^2-2t+1; \, dx=(2t-2)dt; \end{array}\right. $
     Мы здесь знаменатель дроби обозначили через $t$, потому что на много легче, когда знаменатель – это одна переменная, а не целое выражение. В аналогичных случаях очень часто делают именно так! Потом из этого обозначения вычисляем нашу переменную $x$, дифференцируем полученное выражение и находим $dx$. После этого переписываем наш интеграл, но уже от переменной $t$.
     $ = \int \frac{(2t-2)dt}{t}= \int (2 — \frac{2}{t}) dt = $
     После вычисления интеграла меняем назад переменную $t$ на переменную $x$, выходя из наших обозначений, что сделаны выше.
     $ = 2 \int \, dt — 2 \int \frac{dt}{t}=2t — 2 \ln |x| +C = 2(1+ \sqrt{x})-2 \ln |1+\sqrt{x}|+ C. $
     
  2. $\int \cos^4 (x) \sin^3 (x) \, dx $
     $\int \cos^4 (x) \sin^3 (x) \, dx = \int \cos^4 (x) \sin^2 (x) \sin(x) \, dx =\left | \begin{array} {l} t= \cos(x); \, \sin^2 (x)=1-\cos^2 (x)=1-t^2; \\ dt=-\sin(x)dx; \, sin(x)dx=-dt;\end{array}\right. $
     Мы обозначили через $t$ функцию $ \cos(x) $, потому что так проще выразить через $t$ и $ \sin(x) $ . Так обычно делают если есть умножение или деление косинуса и синуса одного аргумента, а степень любого из них (в случае умножения) или того, что в числителе (если деление) непарная.
     $= — \int t^4 (1-t^2) dt= — \int (t^4 — t^6)dt = — ( \frac{t^5}{5} — \frac{t^7}{7}) + C =$
     Ну а теперь надо просто перейти к обозначениям, что были в начале.
     $ = — (\frac{ \cos^5 (x)}{5} — \frac{cos^7 (x)}{7}) + C. $
     
  3. $ \int \frac{ \sqrt{1-x^2}}{x^2} dx $
     $\int \frac{ \sqrt{1-x^2}}{x^2} dx= \left | \begin{array} {l} x= \sin(t); \, t=\arcsin(x);\\ dx = \cos(t) dt; \end{array}\right. $
     Очень часто используют замену на тригонометрическую функцию. Особенно это эффективно, в случаях, когда под интегралом есть корни квадратные и квадраты, как в нашем случае.
     $ = \int \frac{ \sqrt{1 — \sin^2 (t)}}{\sin^2 (t)} \cos(t) dt =\int \frac{\cos^2 (t)}{\sin^2 (t)} dt = \int \frac{1 — \sin^2 (t)}{\sin^2 (t)} dt =$
     После этих вычислений нам надо почленно поделить и перейти к двум интегралам.
     $= \int \frac{dt}{\sin^2 (t)} — \int \, dt = — \arctan (t)-t+C= $
     Ну и наконец, перейдём к переменной, что была в начале.
     $ = -\arctan (\arcsin(x)) — \arcsin(x) + C. $
     
• Примеры на использование формулы интегрирования по частям $\int u dv = uv — \int v du$ :
  1. $ \int \ln x \, dx $
     $\int \ln x \, dx =$ $ \left | \begin{array} {l} u= \ln x \\
     du=\frac{dx}x \\ dv=dx \\ v=x \end{array}\right. $
     Здесь обозначаем $ \ln x $ через $ u $ потому что, мы эту функцию не можем проинтегрировать (её нет в таблице интегралов для основных функций), а так она исчезнет при дифференцировании (когда мы будем искать $ du $). В аналогических случаях точно также нужно поступать с аркфункциями. А далее всё просто, используем формулу для интегрирования по частям и вычисляем обычный табличный интеграл.
     $=x \ln x — \int \, dx =x \ln x-x+c=x( \ln x-1)+C.$
     
  2. $ \int (x^2+1) \cos(x) \, dx $
     $\int (x^2+1) \cos(x) dx = \left | \begin{array} {l} u= x^2 +1;\, du=2xdx \\ dv= \cos(x)dx; \, v= \sin(x); \end{array}\right. $
     Здесь надо обозначать $x^2 +1$ через $u$, потому что при дифференцировании этой функции мы будем понижать её степень, и таким образом за несколько раз этот степень станет ноль и сама функция исчезнет. Так поступают в случаях, когда одна функция (в данном случае $ \cos(x) $) может быть проинтегрирована самостоятельно, а другая (в данном случае $ x^2 + 1$) это многочлен одной переменной в натуральной степени, таким образом, за несколько шагов мы избавимся от этого многочлена.
     $=(x^2+1) \sin(x) — 2 \int x \sin(x) dx =\left | \begin{array} {l} u= x; \, du=dx \\ dv= \sin(x)dx; \, v= — \cos(x); \end{array}\right.$
     Это второй шаг, аналогичный к первому, для понижения степени. После него степень уже ноль и мы избавились от многочлена. Если бы в нас многочлен был третьей степени, то пришлось бы делать и третий шаг. Далее осталось сделать небольшие вычисления и взять табличный интеграл.
     $ (x^2+1) \sin(x) — 2( -x \cos(x) + \int \cos(x) dx) = x^2 \sin(x) + \sin(x) + 2x \cos(x) — 2 \sin(x) +C = (x^2-1) \sin(x) + 2x \cos(x) + C. $
     

• Метод Крамера (конкретный пример)
• Cистемы линейных уравнений
• Коротко о LaTeX. Набор формул в интернете!
• Метод Гаусса (конкретный пример)

Поделиться с друзьями:

Оцените материал:

(2 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)

Загрузка...