.
Ознакомиться с правилами решения таких упражнений вы можете по пошаговым видеоурокам на конкретных примерах, если вы их ещё не смотрели, то обязательно подпишитесь на мою рассылку здесь!
Производная умножения функций $ (uv)’=u’v+v’u $:
$ y(x)=x^2 \sin(x) $
$ y'(x)=(x^2 \sin(x))’ =2x \sin(x) + \cos(x) x^2. $
Мы видим, что $u$ это $ x^2 $, а $v$ это $ \sin(x) $, а дальше всё делаем по выше указанной формуле и пользуемся таблицей производных от основных функций. Её вы можете посмотреть здесь.
$ y(x)=\sqrt{x} \arctan (x) $
$ y'(x)=(\sqrt{x} \arctan (x))’ =\frac{1}{2 \sqrt{x}} \arctan{x} + \frac{1}{1+x^2} \sqrt{x}. $
Мы видим, что $u$ это $ \sqrt{x} $, а $v$ это $ \arctan (x) $, а дальше всё делаем по выше указанной формуле и пользуемся таблицей производных от основных функций. Её вы можете посмотреть здесь.
Производная деления функций $ ( \frac u v )’ = \frac{u’v-v’u}{v^2} $:
$ y(x)= \frac{ \arcsin(x) }{ \arccos(x) } $
$ y'(x)=( \frac{ \arcsin(x)}{ \arccos(x)})’ = \frac{ \frac{1}{ \sqrt{1-x^2}} \arccos(x) — (- \frac{1}{ \sqrt{1-x^2}}) \arcsin(x) }{\arccos^2 (x)} = \frac{ \frac{1}{ \sqrt{1-x^2}} ( \arccos(x) + \arcsin(x) ) }{\arccos^2 (x)} = \frac{ \pi }{2 \sqrt{1-x^2} \arccos^2 (x)}. $
Мы видим, что $u$ это $ \arcsin(x) $, а $v$ это $ \arccos(x) $, а дальше всё делаем по выше указанной формуле для деления и пользуемся таблицей производных от основных функций. Её вы можете посмотреть здесь.
$ y(x)=\frac{ \cos(x)}x $
$ y'(x)=( \frac{ \cos(x)}x)’ = \frac{ — \sin(x)x — \cos(x) }{x^2 } = -\frac{ x \sin(x) + \cos(x) }{x^2 }. $
Мы видим, что $u$ это $ \cos(x) $, а $v$ это $ x $, а дальше всё делаем по выше указанной формуле для деления и пользуемся таблицей производных от основных функций. Её вы можете посмотреть здесь.
Производная сложной функции $ y’=f'(t)t'(x) $ :
$ y(x)= \sin^3 (x) $
$ y'(x)=( \sin^3 (x))’ = $
Внешней функцией $f(t)$ здесь будет $t^3$, а внутренней $t(x)$ – $sin(x)$. Далее эти данные поставляем в формулу для дифференцирования внешней функции и пользуемся таблицей производных от основных функций.
$ = 3 \sin^2 (x) \sin’ (x) = 3 \sin^2 (x) cos (x). $
$ y(x)=\arctan^2 (sin(x)) $
$ y'(x)=(\arctan^2 ( \sin(x)))’ = $
Внешней функцией $f(t)$ здесь будет $t^2$, а внутренней $t(x)$ – $\arctan ( \sin(x) )$. Сначала используем формулу для дифференцирования внешней функции для этих функций:
$ =2 \arctan ( \sin(x) ) (\arctan ( \sin(x) ))’= $
Потом видим, что функция $ \arctan ( \sin(x) ) $ также сложная, поэтому её также надо дифференцировать по данной формуле. Внешней функцией $f(t)$ здесь будет $t\arctan(t)$, а внутренней $t(x)$ – $sin(x)$. Далее эти данные поставляем в формулу для дифференцирования внешней функции и пользуемся таблицей производных от основных функций.
$ =2 \arctan ( \sin(x) ) \frac{1}{1+ \sin^2 (x)} (\sin(x))’ = 2 \arctan ( \sin(x) ) \frac{1}{1+ \sin^2 (x)} \cos(x). $
Все отлично, спасибо большое, но только не совсем понятно, в 1ом примере производной деления функций,как получилось, последнее действие? каким образом то есть?
(17 голосов, рейтинг: 3,88 с 5)
Загрузка...
Спасибо)))!!!
Все отлично, спасибо большое, но только не совсем понятно, в 1ом примере производной деления функций,как получилось, последнее действие? каким образом то есть?
Потому, что $$\arccos(x)+\arcsin(x)=\frac{\pi}{2}$$
мне бы ваш ум на прокат на время сессии!!)
Класс! Спасибо большое!))