Промежутки выпуклости, точки перегиба...

Пусть имеем функцию:

Найдём её первую и вторую производную:

Видим, что вторая производная всегда будет больше нуля, то есть график функции на всём промежутке выпуклый вниз.

Всё аналогично делаем и в следующем примере.

Что бы найти, где вторая производная больше нуля, а где меньше, мы прировняем её к нулю и посмотрим на каких промежутках она больше, а на каких меньше:

Наносим точку x=0 на координатную прямую, и вычисляем соответствующие значения.

Видим, что в точке ноль знак производной меняется, то есть данная точка будет точкой перегиба, так как до этой точки функция выпукла вверх, а после – вниз.

Ну и рассмотрим ещё один небольшой пример:

Опять находим обе производные:

Видим, что знаменатель дроби всегда будет положительный. Значит, знак второй производной зависит только от числителя. Прировняем его к нулю.

Видим, что будет три корня:

Полученные значения переменных наносим на координатную прямую и высчитываем знак второй производной на каждом из промежутков.

Видим, что на промежутке (-∞, -√3) график функции выпуклый вверх, на (-√3, 0) – вниз, на ( 0, √3) – вверх и на ( √3, +∞) вниз. Видим, что здесь будет аж три точки перегиба: