Пусть имеем функцию:
исследование графика функции
Найдём её первую и вторую производную:
Нахождение первой и второй производной
Видим, что вторая производная всегда будет больше нуля, то есть график функции на всём промежутке выпуклый вниз.

Всё аналогично делаем и в следующем примере.
исследование степенная функция
Что бы найти, где вторая производная больше нуля, а где меньше, мы прировняем её к нулю и посмотрим на каких промежутках она больше, а на каких меньше:
прировнаем вторую производную к нулю
Наносим точку x=0 на координатную прямую, и вычисляем соответствующие значения.
Наносим данные на координатную прямую
Видим, что в точке ноль знак производной меняется, то есть данная точка будет точкой перегиба, так как до этой точки функция выпукла вверх, а после – вниз.

Ну и рассмотрим ещё один небольшой пример:
математическая функция
Опять находим обе производные:
нахождение производной первого и второго порядка
Видим, что знаменатель дроби всегда будет положительный. Значит, знак второй производной зависит только от числителя. Прировняем его к нулю.
Прировняем у нулю числитель дроби
Видим, что будет три корня:
найдём корни уравнения
Полученные значения переменных наносим на координатную прямую и высчитываем знак второй производной на каждом из промежутков.
найдём промежутки выпуклости графика функции
Видим, что на промежутке (-∞, -√3) график функции выпуклый вверх, на (-√3, 0) – вниз, на ( 0, √3) – вверх и на ( √3, +∞) вниз. Видим, что здесь будет аж три точки перегиба:
вычислим точки перегиба

Материалы по теме:
Поделиться с друзьями:
Оцените материал:
1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (1 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Загрузка...