.
Задача. Из квадратного листа со стороной a вырезали угловые квадраты со стороной h. После этого согнули лист (штриховки на рисунке) и получили открытую с верху коробку. При каком значении h, объём коробки будет наибольшим?
Для лучшего понимания условий задачи, основные моменты показаны на рисунке!
Решение. Видим с картинки, что высота коробки будет h, а сторона квадратной основы a-2h. По формуле объёма параллелепипеда запишем и объём нашей коробки.
Теперь будим искать наибольшее значение этой функции. Надо учитывать, что наша высота h не может быть отрицательной и не может быть больше a/2, так как по рисунку видно, что вся сторона листа равна a, и там должно поместиться две h и немножко остаться.
Возьмём производную от нашей функции по переменной h.
Прировняем нашу производную к нулю:
Вспомнив, что h не может быть отрицательной и не может быть больше a/2, остаётся только один корень.
Для того, что бы узнать максимум это или минимум, мы найдём вторую производную:
Видим, что значение второй производной будет отрицательное, поэтому точка будет максимумом.
- Экстремумы функции
- Промежутки выпуклости, точки перегиба...
- Упражнения на производную
- Нахождение оптимального расстояния через производную