.

Задача:

элементы параллелепипеда через смешанное, векторное и скалярное произведение векторовДан параллелепипед ABCDA1B1C1D1, построен на векторах AB(4,3,0), AD(2,1,2) и AA1(-3,-2,5).
Найти:

  • а) объем параллелепипеда;
  • б) площадь граней ABCD и ADD1A1;
  • в) длину высоты, проведенной из вершины A1 на грань ABCD;
  • г) косинус угла λ1, между ребром AB и диагональю B1D;
  • д) косинус угла λ2, между гранями ABCD и ADD1A1.

Решение:

  • а) Объем параллелепипеда будем искать через смешанное произведение векторов (AB AD AA1). Мы знаем, что модуль смешанного произведения векторов равен объему параллелепипеда, построенному на этих векторах.

    (AB AD AA1) =
      4 3 0  
    2 1 2
    -3 -2 5
    		= 20 — 18 + 0 — 0 — 30 + 16 = -12 .

    Мы нашли смешанное произведение, ещё надо его взять по модулю и найдём объем параллелепипеда:
    VABCDA1B1C1D1=12.

  • б) Площадь, как мы уже знаем, можно искать через векторное произведение векторов. Грань ABCD построена на векторах AB и AD, найдём их векторное произведение. SABCD= |[AB AD]|.
    [AB AD] =
      i j k  
    4 3 0
    2 1 2
    		= 6i — 8j — 2k ,

    Теперь найдём модуль этого вектора:

    SABCD= |[AB AD]|=√ (36+64+4) =2√(26).

    Точно также и для грани ADD1A1. SADD1A1= |[AD AA1]|.

    [AD AA1] =
      i j k  
    2 1 2
    -3 -2 5
    		= 9i — 16j — k ,

    SADD1A1= |[AD AA1]|=√(81+256+1)=13√2.

  • в) Что бы найти длину высоты, проведенной из вершины A1 на грань ABCD, используем формулу для нахождения объема параллелепипеда V=h SABCD. С этой формулы видим:
    h =
    V
    SABCD
    		=
    12
    2√(26)
    		=
    6
    √(26)
    		=
    3√(26)
    13
    		.
  • г) Косинус угла λ1, между ребром AB и диагональю B1D будем высчитывать с помощью скалярного произведения векторов
    cos(λ1) =
    (AB B1D)
    |AB| * |B1D|
    		.

    Координаты вектора AB мы имеем, от вектор B1D надо найти. Для этого используем следующую формулу:
    B1D = B1A1 + A1A + AD = — AB — AA1 + AD1 = — (4, 3, 0) — (-3, -2, 5) + (2, 1, 2); (Не забывайте, что всё это векторы, надо сложить их соответствующие координаты!!!)
    Сделав вычисления по этой формуле, мы найдём, что вектор B1D имеет координаты (1, 0, -3). Теперь надо найти длину векторов AB и B1D:
    |AB|=√(16+9+0)=5, |B1D|=√(1+0+9)=√(10).
    Найдём скалярное произведение векторов AB и B1D, (AB B1D)=4*1 + 3*0 + 0*(-3)=4.
    Теперь, имея все данные мы можем подставить их в нашу формулу:

    cos(λ1) =
    4
    5√(10)
    		=
    2√(10)
    25
    		.
  • д) Что бы найти cos(λ2), мы используем то, что угол между двумя плоскостями равен углу между перпендикулярами до этих плоскостей. А как мы знаем, векторное произведение — это и есть перпендикуляр до плоскости перемножаемых векторов. Поэтому в роле перпендикуляра к плоскости ADD1A1 мы можем взять вектор [AD AA1], который мы нашли в пункте б), и знаем, что его координаты (9, -16, -1), точно также и для плоскости ABCD — вектор [AB AD] с координатами (6, -8, -2).
    Теперь нам остаётся, как в предыдущем варианте найти только косинус угла между двумя векторами, координаты которых нам известны.

    cos(λ2) =
    6*9 + (-8)*(-16) + (-2)*(-1)
    2√(26) * 13√(2)
    		=
    46√(13)
    169
    		.

    Вот таким не хитрым способом мы и нашли косинус угла между гранями ABCD и ADD1A1.

Материалы по теме:
Поделиться с друзьями:
Оцените материал:
1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (6 голосов, рейтинг: 4,33 с 5)
Загрузка...